收敛速度，而计算量并没有明显变化，此类算法及其变型统称为变换域自适应滤波算法[4,8]。
其中酉变换可以使用DFT,DCT和DHT等变换方法。 设S是一个M?M酉变换矩阵，即
SSH??I （5-5）
其中??0为一常数；用酉矩阵S对输入信号向量x进行酉变换，可以得到
u?n?Sx?n? （5-6）
式中，u?n?表示变换后的信号向量，酉变换后的均衡器抽头权向量C?n?1?变为
则预测误差可表示为
1 ?C?n?1??SC?n?1??
（5-7）
?He?n??y?n??C?n?1?u?n? （5-8）
一般地，进行酉变换前，输入信号之间有相关性，变换后，相关性被基本消除，所以交换域算法相当于一种解相关算法。从滤波的角度来讲，原来的M阶滤波器通过变换成为新的信道滤波器。
总结上述算法
?步骤1：初始化 C?n??0;n?0
步骤2：给定一酉变换矩阵，更新各参量：
u?n??Sx?n? （5-9） ?He?n??y(n)?C?n?1?u?n? （5-10） ??HC?n??C?n?1????n?u?n?e?n? （5-11）
5.2 自适应信号分离器
参考输入是原始输入的k步延时的自适应对消器可以组成自适应预测系统、谱线增强系统以及信号分离系统，本节主要讨论分离器。图5-1表示一个用作信号分离器目的的系统，当输入中包括两种成分；宽带信号（或噪声）与周期信号（或噪声）时，为了分离这两种信号，可以一方面将该输入信号送入dj端，另一方面把它延时足够长时间后送入AF的xj端。经过延时后带宽成分已与原来的输入不相关，而周期性成分延时前后则保持相关[5]。
图5-1 自适应信号分离器原理图
宽带信号周期信号+Z-DAF-宽带成分ej输出yj周期成分输出 26
于是在ej输出中将周期成分抵消只存在宽带成分，在yj输出中只存在周期成分，此时AF自动调节W?,以达到对周期成分起选通作用。如果将所得到的W?值利用FFT变换成频域特性，则将得到窄带选通的“谐振”特性曲线。该方法可以有效地应用于从白噪声中提取周期信号。
5.3 自适应陷波器
如果信号中的噪声是单色的干扰（频率为w0的正弦波干扰），则消除这种干扰的方法是应用陷波器。希望陷波器的特性理想，即其缺口的肩部任意窄，可马上进入平的区域[5]。用自适应滤波器组成的陷波器与一般固定网络的陷波器比较有下列优点：
（1） 能够自适应地准确跟踪干扰频率； （2） 容易控制带宽；
图5-2给出了一个具有两个权的单频干扰对消器组成的陷波器。其原始输入为：任意信号s?t?与单频干扰Acos?w0t???的叠加，经采样后送入dj端，故有dj?sj?Acos?w0jT???。参考输入为一标准正弦波cos?w0t?，经采样后送入xqj和x2j端，其中后者经过900相移，因而
x1j?cos?w0jT?,x2j?sin?w0jT?,两个权值w1j和w2j可以使得组合后得到yj，其幅度和相位都可以与原始输入中的干扰分量相同，使输出ej中的单频干扰得以抵消，达到陷波的目的。
s(t)+Acos(w0t+f)-+cos(w0t)900LMS图5-2 自适应陷波器原理框图
5.4系统辨识或系统建模
对于一个真实的物理系统，人们主要关心其输入和输出特性，即对信号的传输特性，而
不要求完全了解其内部结构。系统可以是一个或多个输入，也可以有一个或多个输出。通信系统的辨识问题是通信系统的一个非常重要的问题。所谓系统辨识，实质上是根据系统的输入和输出信号来估计或确定系统的特性以及系统的单位脉冲响应或传递函数。
系统辨识和建模是一个非常广泛的概念，在控制、通信和信号处理等领域里都有重要意义。实际上，系统辨识和建模不仅局限于传统的工程领域，而且可以用来研究社会系统、经济系统和生物系统等。本节只讨论通信和信号处理中的系统辨识和建模问题。采用滤波器作为通信信道的模型，并利用自适应系统辨识的方法对通信信道进行辨识，从而可以进一步地对通信信道进行均衡处理。
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如果把通信信道看成是一个“黑箱”，仅知道“黑箱”的输入和输出；以一个自适应滤波器作为这个“黑箱”的模型，并且使滤波器具有与“黑箱”同样的输入和输出。自适应滤波器通过调制自身的参数，使滤波器的输出与“黑箱”的输出相“匹配”。这里的“匹配”通常指最小二乘意义上的匹配。这样，滤波器就模拟了通信信道对信号的传输行为。尽管自适应滤波器的结构和参数与真实的通信信道不一样，但是它们在输入、输出响应上保持高度一致。因此，在这个意义上，自适应滤波器就是这个未知“黑箱”系统的模型。并且还可以发现，如果自适应滤波器具有足够多的自由度(可调节参数)，那么，自适应滤波器可以任意程度地模拟这个“黑箱”。 假定未知信道为有限冲激响应(FIR)结构，构造一个FIR结构的自适应滤波器，如图5-3所示。在图中，用一伪随机系列作为系统的输入信号x(n)，同时送入未知信道系统和自适应滤波器。调整自适应滤波器的系数，使误差信号e(n)的均方误差达到最小，则自适应滤波器的输出y(n)近似等于通信系统的输出d(n)。可以证明，加性噪声v(n)的存在并不影响自适应滤波器最终收敛到最优维纳解。可以认为，具有相同输入和相似输出的两个FIR系统，应该具有相似的特性。因此，可以采用自适应滤波器的特性或其单位脉冲响应来近似替代未知系统的特性或单位脉冲响应。 v(n)x(n)未知系统输入噪声 z(n)Σd(n)+y(n)自适应滤波器Σ-e(n)图5-3 自适应系统辨识原理图
模型建立的过程通常分为三步： ① 选择模型的结构和阶次； ② 估计模型的参数；
③ 验证模型的性能是否满足要求，如果不满足要求，回到第①步重新设计。
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第六章 仿真及其结果分析
6.1仿真思路
我们知道，为了缩短收敛过程，我们有三种方法：一是采用不同的梯度估值；二是对收敛因子步长μ选用不同的方法；三是采用变换域分块处理技术[8]。
而在本文中，我采用第二种方法，通过对收敛因子步长μ使用不同的方法来得到较快的收敛过程。采用第二种方法的原因是步长μ的大小决定着算法的收敛速度和达到稳态的失调量的大小。对于常数的μ值来说，收敛速度和失调量是一对矛盾，要想得到较快的收敛速度可选用大的μ值，这将导致较大的失调量；如果要满足失调量的要求，则收敛速度受到制约。因此，人们研究了采用变步长的方法来克服这一矛盾。自适应过程开始时，取用较大的μ值以保证较快的收敛速度，然后让μ值逐渐减小，以保证收敛后得到较小的失调量。现在已有不同准则来调整步长μ，如归一化LMS算法、时域正交化LMS算法等。在仿真中选用不同的μ值来对其性能进行仿真，然后再调整μ值得到较好的收敛曲线。在MATLAB仿真中使用C语言进行编程。
在仿真中，输入信号为一个正弦单输入信号：s=a*sin(0.05*pi*t).加入零均值高斯噪声的信噪比为3dB.
用LMS算法实现这个自适应均衡器，画出一次实验的误差平方的收敛曲线，给出最后设计滤波器系数。一次实验的训练序列长度为500。进行20次独立实验，画出误差平方的收敛曲线。给出3个步长值的比较。
在自适应信号分离器的仿真中，选取信号为正弦信号s?n??sin???n/5?，宽带噪声信号为高斯白噪声，延迟为D=1,收敛因子u=0.001和u=0.3.
在自适应陷波器的仿真中，信号为s?sin?2???t/20?,干扰信号为
n?Acos?2???t/10???，两者频率比较接近，用自适应陷波器来滤除干扰而保留信号。
6.2结果及分析
6.2.1 LMS及其改进算法
在图6-1和图6-2中，可以看出当步长较小时，LMS算法的收敛过程并不是特别快。在归一化LMS算法的仿真中设置其步长μ=0.0001，γ=1。γ参数是为避免xT(n)x(n)过小导致步长值太大而设置的。如图6-3所示，其输入输出以及加噪以后的波形如图6-4所示。
图6-1LMS算法收敛曲线
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图6-2 信号s时域波形
图6-3 u=0.0001时nlms算法收敛曲线
图6-4 u=0.0001时nlms算法波形
图6-5 u=0.9999时nlms算法的收敛曲线
图6-6 u=0.9999时nlms算法的波形
由图6-3和图6-5的比较可知，步长因子μ越小，它的收敛速度越慢，失调量较小。在增大步长因子μ后，让它接近于1，这是它的收敛速度明显加快，但是失调量却较大。
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