龙岩市非一级达标校2014～2015学年第一学期期末高三教学质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1-5 CADBD 6-10 CBBBB
二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.
11．0.16 12．2 13．3 14．
?2 15．②③④
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由
2?8?1? ……2分 ????0,????0可得 :??,???3323 1??1?3?1?由x1??;x2??;x3??2?可得: 232232235?11?14? x1?,x2?,x3?33315??又?Asin(??)?2 ?A?2
2331??f(x)?2sin(x?) ……6分
231?（Ⅱ）由f(x)?2sin(x?)的图象向左平移?个单位
231??x?得g(x)?2sin(x??)?2cos(?)的图象, ……8
23223x?x?2?……10分 ?y?f(x).g(x)?2?2sin(?)?cos(?)?2sin(x?)23233
5?2?2??x?(0,)时, x??(?,?)
3332???ymin??2 ……13分 ?当x???时，即x?时，3261?1?注：若用f(x)?4sin(x?)sin(x?)运算，请参照给分.
2326分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为抛物线y2?86x的焦点坐标为(26,0)，所以C?26 ………2分
- 6 -
c266222，所以a?6,b?a?c?12 ??aa3x2y2所以椭圆方程为：……5分 ??13612
（Ⅱ）由题意知M，圆心M为线段AB中点，且位于x轴的正半轴，
故设M的坐标为(t,0)
因为圆M与y轴相切，不妨设点B在第一象限，又MA?MB?t，所以B(t,t)
又椭圆的离心率e?t2t2???1(t?0) 解得t?3 ……8分 3612?圆心M(3,0),半径r?3
?圆M的方程为：(x?3)2?y2?9 ……10分
3?0?1又圆心M到直线x?3y?1?0的距离d??2
2所以，直线x?3y?1?0被圆M所截得的弦长为：
2r2?d2?29?4?25 ………13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当1?n?18时，cn?anbn?10(1?)(144?n)?1450?当19?n?30时，
1n1440?10n……2分 n11801800cn?anbn?10(1?)(180?n)?10(179??n)?1790??10n …4分
nnn1440?1450??10n,1?n?18??n综上，cn?? ……6分
?1790?1800?10n,19?n?30?n?（Ⅱ）当1?n?18时，cn?1450?14401440?10n?1450?2?10n?1690（当且仅nn1800?10n n当n?12时取等号） ……8分
当19?n?30时，cn?1790?∵y?1800?10n在[19,30]上为减函数， n1800∴cn?1790??10?30?1550 ……10分
30于是(cn)min?c30?1550（千元），即日最低收入为1550千元.
该村一年可收回的投资资金为1550?1%?30?12=5580（千元）=558（万元）， 两年可收回的投资资金为558?2?1116（万元）， 三年可收回的投资资金为558?3=1674（万元）.
∴至少经过3年可以收回全部投资成本. ……13分
19.（本小题满分13分） 解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1)
P则AM?(0,1,1),PD?(1,0,?2),CD?(?1,?2,0) M - 7 - BCAD设平面PCD的法向量是n?(x，，yz)，则
??PD?n?0?x?2z?0,即? ??x?2y?0,??CD?n?0?令z?1，则x?2,y??1，于是n?(2，?11)，
∵AM?n?0，∴AM?n，
∴AM//平面PCD ……6分 （2）因为点N是线段CD上的一点，可设DN??DC??(1,2,0)
AN?AD?DN?(1,0,0)??(1,2,0)?(1??,2?,0) MN?AN?AM?(1??,2?,0)?(0,1,1)?(1??,2??1,?1)
又面PAB的法向量为错误！未找到引用源。 设MN与平面PAB所成的角为? 则sin??(1??,2??1,?1)?(1,0,0)(1??)?(2??1)?11??222?1??5??2??32 ?5(1??)?12(1??)?10
137121210(?)2??10()1??551??1??213?当? 时， 即5?3?3?，??时，sin?最大，
1??532所以MN与平面PAB所成的角最大时?? ……13分
35?20. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a?1时,f(x)?x?x?lnx, f?(x)?2x?1?2?1?1
1 x?f(1)?2,f?(1)?4
函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y?2?4(x?1)
即4x?y?2?0 ……………………4分
（Ⅱ）当a?0时，设g(x)?f(x)?(2x?1)?lnx?x?1(x?0),
11?x， ?1?xx当0?x?1时，g?(x)?0；当x?1时，g?(x)?0.
因此，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上是单调递减
则g?(x)?得g(x)?gmax(x)?g(1)?0，即f(x)?2x?1. …………9分
12ax2?x?1（Ⅲ）由f(x)?ax?x?lnx(x?0)得f?(x)?2ax?1??.
xx当a?0时f?(x)?0则f(x)在(0,??)上是单调递增， 因此函数f(x)至多只有一个零点，不符合题意. …………10分
2
- 8 -
当a?0时，由2ax2?x?1?0得x3??1?1?8a?0
4a因此，f(x)在(0,x3)上是单调递增，在(x3,??)上是单调递减， 所以fmax(x)?f(x3).
一方面，当x从右边趋近于0时，f(x)???；
当x???时，f(x)?ax?x?lnx?ax?x?x?1?ax?2x?1(a?0) 因此，f(x)??? …………11分
222x3?1 2x?1x?1?2lnx3因此，f(x3)?ax32?x3?lnx3??3 ?x3?lnx3?322很明显f(x3)在(0,??)上是单调递增且f(1)?0
另一方面，由f?(x3)?0得2ax32?x3?1?0，即ax32??根据题意得 f(x3)?0?f(1) ，
?x3?1即方程2ax2?x?1?0有且只有一个大于1的正实数根.
2设h(x)?2ax?x?1，由a?0且h(0)?1?0,得h(1)?0解得a??1
所以，实数a的取值范围是(?1,0) ………………14分
21．（本小题满分14分） 解：（1）（Ⅰ）解：设M???ab??，依题意 cd???ab??1??1??ab??1??0????????，??????? cd?10cd?????????1??1?1?a??2??a?b?11??1?b??1??c?d?0?2???22所以?，所以?，所以M??? ……3分
a?b?0111????c??????22?2c?d?1??1?d??211??1?1x?y?x'??2??x??x'???222（Ⅱ）由? ??????得?11??y??y'??1?1x?y?y'????22?22??x?x'?y'所以?，代入y??1得y'?x'??1，即x'?y'?1?0
?y?y'?x'所以所求直线方程为x?y?1?0 …………7分
???（2）（Ⅰ）由?sin(??)?m得?sincos???cossin??m
666所以直线的直角坐标方程为x?3y?2m?0
圆C的普通方程为(x?1)2?(y?3)2?4 …………3分
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（Ⅱ）圆C的圆心C的坐标C(?1,3)，依题意，圆心C到直线的距离为1，
|?1?3?3?2m|?1，解得m??1或m??3 …………7分
22222222（3）（Ⅰ）因为(x?2y?3z)?(1?2?3)(x?y?z)且|x?2y?3z|?4
88222所以x2?y2?z2?，即x?y?z的最小值为 …………3分
778（Ⅱ）因为x2?y2?z2的最小值为,
7所以a?2?4
所以所以?4?a?2?4 所以?6?a?2，即a的取值范围为[?6,2]. …………7分
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