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高三数学第二轮专题复习系列(5)-- 平面向量
一、大纲解读
平面向量解读
⑴理解向量的概念、掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. ⑵掌握向量的加法和减法.
⑶掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
⑷了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
（5）掌握平面向量数理积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.
二、高考预测
平面向量作为高考新增知识点，在近几年高考试题中的分值正逐年增加，约占9.8%左右.对本章内容的考查主要分为以下两类：
（1）以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，重点考查向量的概念，几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算以及平面向量的数量积及其几何意义等.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.
（2）平面向量综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数、解析几何等知识综合，解决角度、垂直、平行以及图象的平移等问题.
三、重点剖析 重点1.
例2：(数量积运算求夹角)已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？
分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值. ∵|x|=x=(2a－b)=4a－4a·b+b=4－4×|y|=y=(3b－a)=9b－6b·a+a=9－6×
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1. 21+1=3， 21+1=7. 22
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a－3b+a·b
13－2－3=－， 223又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=3×7cosθ，
2 =7a·b－2a－3b =7×
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∴cosθ=－
212121，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos 1414142
2
点评：①本题利用模的性质|a|=a，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB=b, AC=a, AD=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几
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何意义，得BD=AD－AB=2a－b.由余弦定理易得|BD|=3，即|x|=3，同理可得|y|=7.
重点2.平面向量的数量积及运算律
例5、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a·b）c－（c·a）b=0 ②
2
|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|－
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4|b|中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（b·c）a－（c·a）b］·c=（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；
22
④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|－4|b|成立.故④真.
点拨：作为选择题要注意解题方法的选择，先分析对错最为明显的论断以排除选项.注意区分向量运算与数量运算.
重点3. 利用向量推导出了正弦定理、余弦定理，其实用向量推导其它三角公式也很方便，同时说明向量与三角是有密切联系的。 ]
??a??sinx,?cosx?,b??sinx,?3cosx?
? c???cosx,sinx?,x?R.
（1）求函数f?x?的最大值和最小正周期；
例2 设函数
?????f?x??a?b?c??，其中向量
（2）将函数y?f?x?的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对
称，求长度最小的d.
????? 解：(1)由题意得，f(x)＝a?b?c=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ??＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+2sin(2x+为2+2，最小正周期是
3?).所以，f(x)的最大值42?＝?. 23?k?3?k?3?3???)＝0得2x+＝k.?，即x＝,k∈Z，于是d＝（，
428284k?3?2－2），d?(?)?4,k∈Z.,因为k为整数，要使d最小，则只有k＝1，此时d28（2）由sin(2x+＝（―
?，―2）即为所求. 8点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
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重点4.平面向量综合问题
例6、例、若直线2x?y?c?0按向量a?(1,?1)平移后与圆x2?y2?5相切，则c的值为
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6
D．2或－8
解析：2x?y?c?0按向量a?(1,?1)平移后得2x?y?c?3?0，此直线与圆
x?y?5相切?r?22c?35?5 ?c?3?5 ?c?8或c??2
点拨：本题考查向量的平移公式和直线与圆的位置关系，是向量和直线与圆的小综合，求解时关键在于运用点与函数图象按向量a平移的公式.
例4、已知x+y+z=6，a+b+c=4 (x,y,z,a,b,c∈R)，求ax+by+cz的最值。 解：构造向量，m?(x,y,z),n2
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?(a,b,c)，则
ax?by?cz?m?n?|m||n|cos?m,n??x2?y2?z2?a2?b2?c2cos?m,n??26cos?m,n?,??1?cos?m,n??1,??26?ax?by?cz?26.∴ax+by+cz的最大值为26，最小值为?26.+
点评: 巧妙构造向量，利用向量的数量积性质:m?n?|m||n|是求解本题的关键.特别是对于某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，向量的数量积性质求解显得更加
独特巧妙。
四、扫雷先锋 雷区1.概念理解模糊
例1 在?ABC中，若AB?BC?2，则?ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
错解1：因为AB?BC?2，所以AB?BCcosB?2，所以cosB?0，因此角B为锐角。故选(A)。
????????????????????????错解2：因为AB?BC?2，所以AB?BCcosB?2，所以cosB?0，因此角B为锐角，但其他两个角并不能确定，故选(D)。
错因分析：产生上述错误的主要原因是对向量的夹角的概念理解模糊，向量AB与BC????????????学科网-学海泛舟系列资料 版权所有@学科网
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的夹角不是角B，而是角B的外角。
正确解法：由AB?BC?2，可得AB?BCcos?AB,BC??2，所以
??????????????????????????????co?sAB,BC??0，即?AB,BC?为锐角，所以B为钝角。故选(C)。
雷区2.生搬硬套公式致错
例2 已知A(?3,1)，B(4,?4)，将向量AB按向量a?(3,6)平移后所得的向量A1B1的坐标为 （ ）
A. (10,1) B. (4,?11) C. (7,?5) D. (3,6)
????x/?7?3?10错解：，∴向量AB按AB?(4?(?3),?4?1)?(7,?5),由平移公式得?/?y?5?6?1????????????向量a?(3,6)平移后所得的向量A1B1的坐标为(10,1)，故选(A)。
错因分析：平移公式揭示的是点沿着向量平移后前后坐标间的变化关系，而向量可以自由平行移动，即向量平移时向量的坐标不变。上述错误是将平移公式生搬硬套。
正解1：因向量平移后仍与原来的向量相等，则
???????????A1B1?AB?(4?(?3),?4?1)?(7,?5)，故选(C)。
正解2：A(?3,1)，B(4,?4)按向量a?(3,6)平移后所得A/(0,7)，B/(7,2)，所以
?????????A1B1?(7?0,2?7)?(7,?5)，故选(C)。
????????雷区3.忽视向量的特性错误
b都是非零向量，例3、已知向量a、且向量a?3b与向量7a?5b垂直，向量a?4b与向量7a?2b垂直，求向量a与b的夹角。
??????????????2?(a?3b)?(7a?5b)?0?7(a)?16a?b?15(b)2?0错解：由题意得??，即??，两式??????22???(a?4b)?(7a?2b)?0?7(a)?30a?b?8(b)?0相减得46a?b?23(b)?0，即b?(2a?b)?0，所以b?0（不合题意舍去）或
???2?????(2a?b)?0。由(2a?b)?0知a、b方向相同。故向量a与b的夹角为00。
错因分析：本解法误用了实数的性质：对于实数a、b，若满足ab?0，则必有a?0或b?0。但对于向量a与b，若满足a?b?0时，a与b不一定为零向量，这是因为任意与a垂直的非零向量b都有a?b?0。
????????????????????学科网-学海泛舟系列资料 版权所有@学科网
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??????(a?3b)?(7a?5b)?0正解：由题意可知向量a与b不共线，所以??，即?????(a?4b)?(7a?2b)?0???????2???????7(a)?16a?b?15(b)2?022，两式相减得46a?b?23(b)?0，即(b)?2a?b，代?????22??7(a)?30a?b?8(b)?0入7(a)?16a?b?15(b)?0得(a)?2a?b，所以(a)?(b)?2a?b，设向量a与
???2???2?2???2?2???b的夹角为?，所以cos??a?b????ab1。 2雷区4.运算律掌握不牢固致错
?a?b?0，例4 若向量a与b不共线，且c?a?(?0 （B）
??????a?aa?b??则向量a与c的夹角（A）)b，
?????? （C） （D） 632??错解：由c?a?(?为0。选（A）。
?a?a??????)b可得，c?a?(?)b?a?a?0，所以向量a与c的夹角
a?bb?a??????错因分析：此解法出错的原因是对??????a?aa?b???进行了约分处理。
????????正解：由题意得a?c?a?[a?(?的夹角为
a?a??所以向量a与c)b]?a?a????(a?b)?0，
a?ba?ba?a?。故选（D）。 2??雷区5.思想应用错误
例5 已知向量a?e，e?1，对任意t?R恒有a?te?a?e，则 （ ）
????????（A）a?e （B）a?(a?e) （C）e?(a?e) （D）(a?e)?(a?e) 错解：由已知条件a?te?a?e两边平方得： (a)?2ta?e?t(e)?(a)
???????????????????????2??2?2?2?2a?e?(e)，即t?2(a?e)t?2(a?e)?2?0恒成立故需??4(a?e)2? ?4(2a?e?1)?4(a?e?1)?0得：a?e?1，而答案中无此项。
错因分析：错误的主要原因是整理成关于t的二次不等式后，不能把a?e看成一个整体，
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