1、广勾股定理：
在任一三角形中，
(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍．
(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍．
证明：
设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2－4)．作CH⊥AB于H， 根据勾股定理：BC^2 = BH^2 + CH^2 而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2 带入后有：BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2 简化后：BC^2 = AB^2 ＋AC^2 -2AB·AH 式（1） 同理： BC^2 = AB^2＋AC^2 -2AC·AH 同理可证明钝角时的结论。 推广（高中余弦定理的导出）： 设：CosA = AH/AC
则：AH = AC·CosA 代入式（1）则有：
BC^2 = AB^2 ＋AC^2 -2AB·AC·CosA 2、斯特瓦尔特(stewart)定理
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有
AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC＝BC·DC·BD。
证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有
AC²=AD²＋DC²-2DC·DH，（1） AB²=AD²+BD²+2BD·DH。 （2） 用BD乘(1)式两边得
AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD，（1）′ 用DC乘(2)式两边得
AB²·DC=AD²·DC＋BD²·DC＋2BD·DH·DC。（2）′ 由（1）′+（2）′得到
AC²·BD+AB²·DC=AD²(BD＋DC)+DC²·BD＋BD²·DC =AD²·BC+BD·DC·BC。
∴AB²·DC＋AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。 或者根据余弦定理得
AB²=PB²+PA²-2PB·PA·cos∠APB AC²=PA²+PC²-2PA·PC·cos∠APC 两边同时除以PB·PA·PC得
AC²·PB+AB²·PC=(PB²+PA²)PC+(PA²+PA²)PB 化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC) 斯特瓦尔特定理的逆定理成立 斯特瓦尔特定理的推论
斯特瓦尔特定理还有如下推论
(1)若AB=AC，则AP²=AB²-BP·PC (2)若AP为BC中线，则
AP²=½AB²+½AC²-¼BC² (3)若AP为∠A内角平分线，则AP²=AB·AC﹣BP·PC (4)若AP为∠A外角平分线，则AP²=﹣AB·AC+BP·PC (5)若BP／BC=λ，则AP²=λ·﹙λ﹣1﹚·BC²+﹙1﹣λ﹚·AB²+λ·AC²
斯特瓦尔特定理与托勒密定理和张角定理可以互化 斯特瓦尔特定理的常见应用方式 ①用于得到线段倍份关系
②用于求解三角形问题
（诀窍是选则适当的三角形及其边上的点；灵活运用推论）
3、塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介
（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截，
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①
而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）
/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理;
三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1
且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
塞瓦定理推论
1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)·(CE/AE)·(GA/DG)=1
因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以
(BD/CD)·(CE/AE)·(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定 理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
数学意义
使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。
4、托勒密(Ptolemy)定理
指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：
m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C)
5、西姆松定理
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
西姆松定理说明 相关的结果有：
（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，
PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF. 易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.
证明二： 如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分别四点共圆，有
∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有 ∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
故L、M、N三点共线。
6、斐波那契数列
“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概