内角平分线定理
角平分线的性质定理．其内容是
性质1 在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
性质2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上． 综合定理1，2可得如下结论：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．
三角形内角平分段性质定理 三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条邻边成比例． 即
在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD:CD=AB:AC. 证明：如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，则DB/DC=AB/AE。 ∵CE∥ＡＤ，
∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ，∠BAD＝∠AEC。 ∵ＡＤ平分∠BAC，∠BAD＝∠ＤＡＣ， ∴∠ＡＣＥ＝∠AEC，ＡＥ＝ＡＣ。 ∴ＤＢ/ＤＣ＝ＡＢ/ＡＥ＝ＡＢ/ＡＣ
中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边平方与该边中线平方和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
中线定理 目录[隐藏]定理简介 证明过程 另一个结论 中线定理 [编辑本段]定理简介 中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。 定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边平方与该边中线平方和的2倍。 即，对任意三角形ABC，设M是线段BC的中点，AM为中线，则有如下关系： AB^2+AC^2=2BM^2+2AM^2
在以上讨论中，还可以得到 |AB^2-AC^2|=2BC×IH
根轴定理
在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。
另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。
根轴方程
设两圆O1,O2的方程分别为：
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1) (x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)
由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有 (x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2 两式相减，得根轴的方程(即x,y的方程)为 2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0
其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。
解的不同可能
(1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)
如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。 如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。 如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M,N是共轭虚点。
蒙日定理
通过四面体的每条边的中点并垂直于其对边的6个平面必交于一点。此点和那6个平面分别被称为蒙日点和蒙日平面。
(拉格朗日四平方和定理)
每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。
三角形的外角平分线定理：三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
例.已知如图.△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点 D，求证：BD︰CD＝AB︰AC。
证明：过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC
∠CAD＝∠ACE
∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE ∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC 证明2:
ACD面积=0.5xCAxADxsin(Li)=0.5xCDxh (h为BD边上的高) a b
ABD面积=0.5xBDxh=0.5xBAxADxsin(180度-L1) c d
axc=ACD面积xABD面积=bxd (左右两边均约去h,sin,0.5x0.5,AD) 得 CAxBD=CDxBA 变形得 BD︰CD＝AB︰AC