1 广州大学数学与信息科学学院2012～2013
《实变函数》复习题
1. 已知集合M～R，数集N～Q，其中R为实数集，Q为有理数集。证明：M-N～M.
2. 证明：A是无穷集的充要条件是A与其真子集对等.
3. 证明：假设F?R，则F是闭集当且仅当CF?Rn?F是开集.
4. 等式(A-B)∪C=A-(B-C)成立的充要条件是什么？
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5. 证明：0测度集必可测.
6. E?R,E?xx是E的内点，证明：E是开集.
7. R'中有理数的全体的可测集，测度为0.
8. 若E是R中的有界集，则mE???.
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9. 至少有一个内点的集合，其外测度能否为0？
10. 能否在[a,b]上作一个测度为b-a但又异于[a,b]的闭集？
11. f在E上可测，证明：对?a，Exf(x)?a可测.
12. f可测??r为有理数，Exf(x)?r是可测集.
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13. mE???，f(x)在E上几乎处处有限可测，对??，?闭集F?E，满足：
1）m(E?F)??； 2）在F（闭）上，f(x)有界.
14. 对于集合E，定义特征函数为：
?E??设E1,E2,?,En,?是一集合列。证明：
?1,x?E
0,x?E??limsupE(x)?limsup?E(x).
n??nn??n
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15. 设f(x)是R中可测集合E上的函数，则f(x)在E上可测当且仅当下列条件之一成立.
（i） 对?a,Exf(x)?a可测； （ii） （iii）
16. 设mE???，f(x)是E上的可测函数，f(x)-g(x)在E上几乎处处有意义。
证：f(x)-g(x)也是E上的可测函数.
5 n??????对?a,Exf(x)?a可测； 对?a,Exf(x)?a可测.