数 D(r)??dlnN(r) dlnr则D(r)便是在点上定义的斜率。式（3）即是扩展了分形维数, 称为广义分形维数。
如果把所研究的对象分为M 个小区域,设第i个小区域线度大小为ri分形体生长界面在该小区域的生长几率为N不同小区域生长几率不同,可用于不同标度指数来表征，即对于
N(ri)?ri?i(i?1,2,3,?,M), lnNln(Nr(ir))（4） ?i?lim??limr ln(r ) （ （ r i （ （ （?0 ln(r i )则则
iii?0i 中, 人们已经用常规的频谱分析技术进行了若 lnN(ri)?i?limri?0ln(ri),称为局部分维。式(4) 表明,?i是表征分形体某小区域的分维数其值的大小反映了该小区域生长几率的大小。由于小区域数目很大,所以可以得到一个由不同小区域中的a 、组成的无穷序列构成的谱, 并用f(a)表示。具有这种情况的分形叫作多重分形叫。f(a)和?是描述多重分形的一套参数,被称为奇异谱。多重分形可充分显示出小波分解中各层和各频段信号的分维数及其奇异谱。 稳特 绩。人们也曾用小波分析技术研究过汽车运行过程中振动信号的非平征〔‘ 」探索了一种新的分析方法但对于更为复杂 , 。的信号特征就难以用以往的方法来描述本文试 , 。图用分形理论对汽车的实际振动信号进行分析研 究探 , 索汽车更本质更复杂的振动特征、。 分形 表 示不规则分数的破碎断裂的意思、、、。 它是以复杂事物为研究对象其哲学基础是系统 。或整体中的每一个元素或局部都在一定程序上反 映与体现着整体系统的特性与信息即通常讲的 , 自相似性分形理论在描述自然界的复杂现象中 。已经取得了若干成绩成为当代前沿科学之一特 , , 别是在物理学化学分子生物学和计算机图形学 、、方面分形理论得到成功的应用’ 在机械信号基础是系统与体现着整体系统的特性与信息即通常讲的 , 。
, 自相似性分形理论在描述自然界的复杂现象中 。已经取得了若干成绩成为当代前沿科学之一特 , , 别是在物理学化学分子生物学和计算机图形学 、、方面分形理论得到成功的应用’ 在机械信号 , 。分析与评估中也有人开始进行研究汽车运行过程中其各部件所受的激励相当复 , , 杂表现出来的振动信号也是复杂的以往的信号 , 。分析中人们已经用常规的频谱分析技术进行了若 , 干研究并取得了若干成绩人们也曾用小波分析 , 。技术研究过汽车运行过程中振动信号的非平稳特 征〔‘ 」探索了一种新的分析方法但对于更为复杂 , 。的信号特征就难以用以往的方法来描述本文试 , 。
由前面理论分析可知,分维数越小,信号越简单;分维数越大, 表明信号越复白噪声的分维数远高于直线和正弦信号的分维杂, 表示不规则性和随时间变化的波动程度大。一般情况下, 一维信号的分维数在1-2之间。对于简单规则信号,如直线、正弦信号等,其分形维数等于信号的拓扑维数,接近或等于1。而对于白噪声信号,其信号非常复杂,分维数近于2。图1给出了用logr?logN(r)曲线表示的分维数。可看出,前两者是相平行的两条斜直线,后者近乎于一条水平直线。可见数。它们的分维数计算结果与分维表示图上的直线斜率吻合。
2 汽车振动信号的分形分析
首先对采集的某类吉普车在50km/h车速时的振动信号进行分形分析。图2(a)是采集的振动信号,可见它有相对较大的复杂度,且十分不规则。分析结果如图2(b)。与直线和正弦信号相比,其分维数明显较大。但是与白噪声信号的分维数相比, 其数值要小。如果用logr?logN(r)曲线表示,其负斜率较小。
过汽车运行过程中振动信号的非平稳特 征〔‘ 」探索了一种新的分析方法但对于更为复杂 , 。的信号特征就难以用以往的方法来描述本文试 , 。图用分形理论对汽车的实际振动信号进行分析研 究探索汽车更本质更复杂的振动特征, 、。
在车速为60 km/h的吉普车振动信号分析中,首先用二进小波变换,把信号分解到不同分解层上,从而在不同层上得到不同频段的信号。选取某些层上的频，进行分形分析,结果如图3所示。值得注意的是,在图3（a)中,第2层小波分解逼近信号的分维表示明显弯曲,出现两个分维数。如果取两段不同分析长度r,则得到两个分维数d1?1.224和d2?1.695。这说明,在第2层小波分解中,信号具有两个复杂度成份。或者更直接地说,在第2 层小波分解中, 信号内部有简单信号,也有复杂信号,这与小波分解的概念是一致的。
3 复杂汽车振动信号的分形分析
有时,某些振动信号的特征是相对复杂的。在对汽车传动系进行振动测试分析时,发现信号具有明显的复杂特征。对某汽车传动系进行振动模态测试, 采集的振动加速度信号如图4(a)所示,其幅值频谱也比较乱,如图4(b0所示。这意味着其信号的复杂程度较高。
首先对信号进行二进小波分解,前两层细节信号分解结果如图5所示。对它们进行分形分析,结果发现,各层信号的分形分析图接近一致,且具有多个分维数。由于信号采集时,汽车传动系是处于整车联结状态,各部分部件之间都互相影响。 同时
,该车传动系联结结构不合理,处于故障状态,所以,多个分维数共存是正常现象。但是,这样就难以对不同频段信号进行分析。为方便起见,我们采集了离合器壳上某点的信号,并对信号进行功率谱分析,然后对感兴趣的频段进行小波分解,取得其局部频段的频域图,然后进行分析。我们选取如图6所示功率谱图中l 号点谱峰，作为感兴趣频段。对谐波小波分解的信号图进行信号重的信号其分形分析结果见。图 。