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y-z,x-z,x-y 平面上进行 2-DArnold 变换。研究表明该离散化的三维 Arnold 变换如公式 2.9 仍是一一映射，其混沌特性，如遍历性、初始值和参数敏感性等没有改变。
（2.9）
由于Arnold的本来的缺陷，经过多次叠代原来的图像(0,0,0)还是没有改变，这会有助于攻击者攻击对加密的攻击。
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3 基于混沌与 S 盒的 Feistel 结构图像加密算法
由于传统的加密算法中的 Feistel 结构是一种典型的迭代结构，能够充分实现数据的混乱与扩散，因此将 Feistel 结构与混沌映射有机地结合起来，同时引入了 S盒进行像素替代这一种非线性运算，在后面对该算法进行了密码学分析实验。 3.1 基础理论知识
① 改进的 Standard 映射为了将 Standard 映射应用到离散的数字图像加密过程中，在文献中 Fridrich J提出了的离散化 Standard 映射，形式如公式 3.1：
（3.1）
其中 K>0,k∈Z,而符号[ ]表示取整操作。根据前面所分析的置乱矩阵分析，我们引入一随机对(rx，ry)将角元素与其它元素置换。则改进后的 Standard 映射如公式 3.2：
（3.2）
(xn,yn)和（xn+1,yn+1)分别是原来的和置乱后像素的位置,Kc是一个正整数。可以发现，改进后的 Standard 映射与原来的标准映射相比，不仅改变了角元素(0,0)的位置，而且拥有更大的密钥空间。
② 设计非线性函数实现扩散 设计扩散函数 D(M，Kd)如公式 3.3:
（3.3）
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pk是在按行或列扫描时的第 k 个像素点值，ck是其加密后对应的像素值，L 是数字图像的灰度级。C-1＝Kd是设计的非线性扩散函数的初始值并被用来作密钥，此处 f(.)函数是 Logistic 混沌映射，q[.]是量化过程，q(x,l) = 2LX，X＝0.x0x1x2?，xi是二进制“0”或“1”。由于该扩散函数 D(M，Kd)是非线性的，则说明密文 ck非线性地信赖于明文 pk和密钥 Kd。同时 Logistic 混沌映射的引入使得该扩散函数也有很高的扩散速度，比对黑白间隔图像利用相邻两点或者相邻四点进行扩散具有更好的扩散效果。
③ S 盒的构造方法
1 设定初始值，对 Chebyshev 映射进行迭代 8 次，生成 8 个二进制位，并转换成十进制数。然后再重复迭代该映射 8 次，产生另一个不同的整数。如此重复，可以产生一个大小为 16×16，数值在 0 到 255 之间的整数表；
2 把二维表重组成三维表，首先把将二维表中的所有元素填充到一个 W×H×L＝16×16 的立方体内，然后像序列（2,2,2,2,2,2,2,2,1）这样列出 256 的所有素数因子并附带上数 1，使 W×H×L＝2×2×2×2×2×2×2×2×1。最后将所有元素分为 3 组并从中选取两个序列{w1，w2,?wk}和｛h1,h2，?ht｝作为三维 Baker 映射的密钥，如 W=w1+ w2+?+wk和 H=h1+h2+?+ht。
3执行离散三维 Baker 映射如公式 3.4，多次对该三维表进行置乱，最后把三维表变换为二维表，即 S 盒。
3.4
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④ Feistel 交替结构
Feistel 结构是在 20 世纪 60 年代末由 H.Feistel 和 W.Tuchman 设计 Lucifer 分组密码时所发明的。后来很多成功的经典对称加密算法（如：DES，RC5，Blowfish等）都是在 Feistel 交替结构的基础上进行设计的。
Feistel 交替结构是一种乘积形式的密码变换，它把任何函数都转化为一种转换。能够充分实现数据的扩散与混乱，构成很高强度的密码系统。 其第 i 轮的加密变换用公式 3.5 表达为：
（3.5）
其中，⊕表示按位异或，F 是轮函数，Ki是第 i 轮的子密钥。 3.2 交替结构图像加密算法设计
在密码系统中对具有替代和置换等功能的基本密码进行合理的交替使用, 所得密码系统的安全强度将强于各个单密码的强度，子密钥生成方法：
加密过程每一轮选取 64bits 密钥 K，按图 3.1 分段转化为十进制数，生成子密钥，而 Kcl,Kcr,Kc为任意正整数，将 Kcl,Kcr 转化为对应小数后 0.Kcl,0.Kcr，分别用
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于不同的子加密过程，如图 3.2 所示。
3.2
利用上面讲述的 Standard 映射和动态 S 盒设计出一种新的 Feistel 结构图像加密算法。算法的加密过程描述如下：
① 对数字图像数据进行规格化，使得每个被处理单元的大小为 N×2N 个像素(N 的大小根据具体情况而定)，根据位置的奇偶性按行扫描将图像分成 N×N 的左右两块，即 L0和 R0；
② 利用设计的扩散函数对 Li和 Ri分别进行扩散操作，并将行扩散后 Li和 Ri的每个像素的二进制表示，用下图 3.3 方式进行置乱并转换成十进制得到新的像素值，再利用扩散函数对 Li和 Ri 进行列扩散操作；