22．（本小题满分14分）
已知直线y?x与函数f(x)?ln(x?a)的图像相切， （Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）令函数g(x)?f(x)?x，求函数g(x)的最大值；
*（Ⅲ）已知数列{an}满足a1?1，an?1?an?an?1an(n?2,n?N)，记
?ani ?a1?a2???an，
i?1*?n?1n证明：当n?N时，ai?f(n)?i?2?ai．
i?1
6
（理科参考答案）
一、选择题 1．（A） 2．（C） 3．（B） 4．（B） 5． （C） 6．（D） 7．（C） 8．（D） 9．（D） 10．（A） 11．（A） 12．（B） 解：当x?[2n?1,2n],(n?N*)时，f(x)?12(2?4|n?1x2n?1?3|)， 2所以f(x)极大值二、填空题
113?2n?11?f()?n?2，?S??n?2?(2n?2n?1)?1
222213．?1 14．60 15．1
16． ②③④，解：f/(x)?6x2?6x?0得x?0或x?1，所以①错，由条件知函数f(x)的图像通过左右平移可得到奇函数，故极大值和极小值互为相反数，②正确，当x?0和x?1时取得极值，解得c?11，可得B(,0)，③正确，设A(x0,0)，则C(1?x0,0)，计算得f/(x0)?f/(1?x0)，故④22正确
三、解答题
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“取出的两个小球颜色相同”为事件A，
2C32?C22则P(A)? ?25C52 ……………………………………5分 52（Ⅱ）由条件知甲、乙、丙每人获得奖章的概率均为
53327则P(??0)?()?，
5125541232P(??1)?C3()()?，
551252336P(??2)?C32()2()1?
551258323P(??3)?C3()? …………………9分
51252??~B(3,)，
56?E?? ……………12分
5即甲获得奖章的概率为18．（本小题满分12分）
7
解（Ⅰ）f(x)?sinx(1cosx?322sinx) ?14sin2x?34(1?cos2x) …………………2分 ?1?32sin(2x?3)?4 …………………4分 所以函数f(x)最小正周期为?， …………………6分
（Ⅱ）f(B)?12sin(2B??33)?4 ?cosB?a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac12ac?2ac?2ac?2（当a?c时取等号）……………8分?0?B??3 …………………10分
??3?2B??3??
?f(B)的取值范围为[?34,12?34] …………………12分 19．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）取AB的中点O，?PO?面ABCD， ?PC?AB ?OC?AB
所以以O为坐标原点建立如图空间直角坐标系
z A(?1,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),D(?2,3,0)
P E ?PE?12ED A O D ?E(?23,33,233) ………………2分
B x C y 设面ACE法向量为n?(x,y,z)
?x?3????n?ACy?0?????n?AE?1?3x?33y?233z?0 令x?1得y??33,z?0，?n?(1,?33,0) ………………4分 8
取面ABCD法向量为n0?(0,0,1)
?n?n0 ………………6分
所以平面ACE?平面ABCD （Ⅱ）PD?(?2,3,?3)
?cos?PD,n???3??330102320， ………………9分 3所以PD与平面ACE所成角大小为arcsin33020． ………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）a23?q?1?2d,a7?q4?1?6d ………………2分 解得q?2,d?12 n?1?an?1n?22,bn?2 ………………4分
（Ⅱ）cn?a2n?1?b2n?1?(n?1)?2n ………………5分
2?S23n?(x?x???xn?1)/|[x(1?xn)/x?2?1?x]|x?2
[2x?(n?2)xn?1](1?x)?x2?xn?2?(1?x)2|x?2 ………………7分 ?(n?2)2n?1?4?4?2n?2?n?2n?1 ………………8分
（Ⅲ）(?n?9?)cn?Sn??(n?9)(n?1)2n?n2n?1
???2n2(n?1)(n?9)?n?9 ………………10分
n?10?n?9n?6（当n?3时取等号） ???18 ………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由离心率知a2?2b2 …………………1分
9
联立??y?x?12?2b2?0，
?x2?2y2?2b2?3x2?4x?x42?2b2所以1?x2??3,x1x2?3 …………………3分
又?AC?3CB，
由上述方程解得b2?1,a2?2
所以椭圆方程为x22?y2?1 …………………5分 （Ⅰ）设lPQ:y?kx?m
联立??y?kx?m222x2?2y?2?(1?2k)x?4kmx?2m?2?0， ?2所以x4km1?x2??1?2k2,x?2m2?21x21?2k2 …………………7分
m2?y?m)(kx?2k21y2?(kx12?m)?1?2k2 ?x1x2?y1y2?0
?2m2?2?m2?2k2?m221?k2?3，即原点到直线PQ的距离为d?63……………9分11|OP|2?|OQ|2|PQ|213|OP|2?|OQ|2?(|OP||OQ|)2?(|OP||OQ|)?d2?2……………11分 当PQ斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，
11|OP|2?|OQ|2为定值32 …………………12分 22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设切点为(x10,y0)，f/(x)?x?a ?1x?a?1,y0?ln(x0?a),y0?x0
0解得a?1 …………………3分 （Ⅱ）g(x)?f(x)?x?ln(x?1)?x
10
g/(x)?1?x?1?1?xx?1 所以函数g(x)在(?1,0)上递增，在(0,??)上递减，…………………5分
?g(x)max?g(0)?0 …………………6分
（Ⅲ）?an?1?an?an?1an(n?2,n?N*)
?1a?1?1，即1?n?a1n? …………………8分 nan?1ann由（Ⅱ）知当x?0时，ln(x?1)?x?0
?ln(1n?1)?1n?0，
?lnn?11n1n?1121n?n，lnn?1?n?1，lnn?n?2,?, ln1?1
累加得lnn?1n21n?lnn?1???ln1?1?12???1n 即ln(n?1)?ln(n?1n?nn?1???21111)?1?2???n n?f(n)??ai ………………10分
i?1由（Ⅱ）知当x?0时，ln(x?1)?x?0
?ln(?1n?1?1)?(?1n?1)?0 ?ln(nn?1)?1n?1?0 ………………11分
?lnn?1n?1nn?1，lnn?1?1n，?,ln21?12 累加得lnn?1n?lnnn?1???ln21?12?13???1n?1 即ln(n?1)?ln(n?1n?nn?1???21)?12?13???1n?1………………13分 n?1?f(n)??ai
i?2n?1n综上得当n?N*时，?ai?f(n)?i?2?ai…………………14分
i?1
11