高考网 http://www.yaogaokao.com
当?=4时, P3=P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75q22=0.48, 当?=5时, P4=P(ABB?AB)?P(ABB)?P(AB)
?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)?0.25q2(1?q2)?0.25q2=0.24
所以随机变量?的分布列为 ? 0 2 3 4 5 0.48 0.24
p 0.03 0.24 0.01 随机变量?的数学期望E??0?0.03?2?0.24?3?0.01?4?0.48?5?0.24?3.63 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB?BBB?BB)
?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?2(1?q2)q22?q22?0.896;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.
【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力. （20）（本小题满分12分）
等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数
?y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）当b=2时，记 bn?2(loan?2g证明：对任意的n?N ，不等式
?n1)?(N? )b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bnx解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上.所
以
得
?Sn?nn?b,r当
n?1n?1时,
a1?S1?b?r,当
n?2时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以
r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1
京翰教育http://www.zgjhjy.com/
高考网 http://www.yaogaokao.com
（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n 则
bn?12n?1b?13572n?1b?1b2?1,所以1 ?·······n????b1b2bn2462nbn2nb?13572n?1b1?1b2?1·······n?????n?1成立. b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式
① 当n?1时,左边=
33,右边=2,因为?2,所以不等式成立. 22② 假设当n?k时不等式成立,即
b?13572k?1b1?1b2?1·······k?????k?1成立.则b1b2bk2462k当n?k?1时,左边=
b?1bk?1?1357b1?1b2?12k?12k?3 ·······k???????b1b2bkbk?12462k2k?22k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?1 2k?24(k?1)4(k?1)4(k?1)所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. （21）（本小题满分12分）
两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧
上选择一点C建造垃圾
处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在
的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对
城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解:（1）如图,由题意知AC⊥BC,BC?400?x,y?224k?(0?x?20) 22x400?xC 京翰教育http://www.zgjhjy.com/
x A B
高考网 http://www.yaogaokao.com
其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?设
49?(0?x?20) 22x400?x,
则
m?x2,n?400?x24m9?(n?m?n?400,
y?y?m4?n9)?m40n01n[?13400m4?(m49?,所以mn91?)当]且?仅当(n400?113?114n9m?n?240?即?时取”=”. mn?m?160下面证明函数y?49?在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400?m设0
4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,
m1m2(400?m1)(400?m2)所以(m2?m1)上为减函数.
494(400?m1)(400?m2)?9m1m2在(0,160)?0即y1?y2函数y??m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)同理,函数y?49?在(160,400)上为增函数,设160
4(400?m1)(400?m2)?9m1m2?0,
m1m2(400?m1)(400?m2)494(400?m1)(400?m2)?9mm12?0即y1?y2函数y??在
m400?mm1m2(400?m1)(400?m2)京翰教育http://www.zgjhjy.com/
所以(m2?m1)高考网 http://www.yaogaokao.com
(160,400)上为增函数.
所以当m=160即x?410时取”=”,函数y有最小值, 所以弧小.
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. （22）（本小题满分14分）
上存在一点，当x?410时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最
x2y2设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，
ab（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
????????OA?OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点,
ab2?4?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为
611184b?4????1?????a2b2?b24（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
?y?kx?m?????????得OA?OB,设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2?1??4?8x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,
222222则△=16km?4(1?2k)(2m?8)?8(8k?m?4)?0,即8k?m?4?0
224km?x?x??12??1?2k2?22m?8?xx?12?1?2k2?22,
k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k2京翰教育http://www.zgjhjy.com/
高考网 http://www.yaogaokao.com
????????2m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0,要使OA?OB,需使x1x2?y1y2?0,即221?2k1?2k?m2?283m2?826222?0又8k?m?4?0,所以?2所以k?,所以m?,即m?或
383?3m?82m??26,因为直线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为38m2m282622x?y???,r?,,所求的圆为,此时圆的r?r?2223m?831?k331?k1?8m2切线y?kx?m都满足m?2626或m??,而当切线的斜率不存在时切线为33x2y22626262626??1的两个交点为(与椭圆,?)或(?,?)满足x??8433333????????8OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
3????????恒有两个交点A,B,且OA?OB.
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
京翰教育http://www.zgjhjy.com/