只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。
（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样即可。 三、概率
1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。
2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1； 3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；
4、不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作0 （1）直接数数法：即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式 直接得出事件A的概率。 （2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。 四、几何概率 1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。 2、求几何概率： （1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系； （2）然后计算出各部分的面积； （3）最后代入公式求出几何概率。 五、设计概率模型（游戏或事件） 1、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向 运用。 2、设计通常分四步： （1）首先分析设计应符合什么条件； （2）其次确定选用什么图形表示更合理； （3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型； （4）最后再通过计算或其他方法来 验证设计的模型是否符合条 件。 第五章 三角形 三角形三边关系 三角形 三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段 中线 高线 全等图形的概念 全等三角形的性质 SSS 三角形 SAS 全等三角形 全等三角形的判定 ASA AAS HL（适用于RtΔ） 全等三角形的应用 利用全等三角形测距离 作三角形 一、三角形概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。 2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示； 4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。 二、三角形中三边的关系 1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b （2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。 3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即 . 三、三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。 2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 3 、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 5、任 意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。 6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。 四、三角形的三条重要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。 2、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。 3、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点 。 4、三角形的高线： （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。 （2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。 区 别 相 同 中 线 平分对边 三条中线交于三角形内部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点 角平分线 平分内角 三条角平分线交于三角表内部 高 线 垂直于对边（或其延长线） 锐角三角形：三条高线都在三角形内部 直角三角形：其中两条恰好是直角边 钝角三角形：其中两条在三角表外部 五、全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。 2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 3、全等图形的面积或周长均相等。 4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。 5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。 6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。 六、全等分割 1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。 2、对一个图形全等分割： （1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点； （2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。 七、全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。 4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。 八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角 角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 5、注意以下内容 （1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。 （2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等。 （3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。 6、熟练运用以下内容 （1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关 键。 （2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。 （3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”。 （4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。 7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 九、作三角形 1、作图题的一般步骤： （1）已知，即将条件具体化； （2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件； （3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）； （4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程； （5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。 2、熟练以下三种三角形的作法及依据。 （1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。 （2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。 （3）已知三角形的三边，作三角形。 十、利用三角形全等测距离 1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。 2、运用全等三角形解决实际问题的步骤： （1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决； （2）根据实际问题抽象出几何图形； （3）结合图形和题意分析已知条件； （4）找到解决问题的途径。 十一、直角三角形全等的条件 1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的； 3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。 十二、分析-综合法 1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。 2、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。 3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。 4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。 第六章 变量之间的关系 自变量 变量的概念 因变量 变量之间的关系 表格法 关系式法 变量的表达方法 速度时间图象 图象法 路程时间图象 一、变量、自变量、因变量 1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。 3、自变量与因变量的确定： （1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。 （2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。 （3）利用具体情境来体会两者的依存关系。 二、表格 1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。 （1）首先要明确表格中所列的是哪两个量； （2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量； （3）结合实际情境理解它们之间的关系。 2、绘制表格表示两个变量之间关系 （1）列表时首先要确定各行、各列的栏目； （2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量； （3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位； （4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。 （5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。 三、关系式 1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（ 也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。 2、关系式的写法不同于方 程，必须将因变量单独写在等号的左边。 3、求两个变量之间关系式的途径： （1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。 （2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式； （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式； （4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。 4、关系式的应用： （1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值； （2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值； （3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。 四、图象 1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。 2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。 3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。 4、图象上的点： （1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值； （2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。 （3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。 （4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。 5、图象理解 （1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量； （2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）； （3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。 五、速度图象 1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义： （1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止； （3）下降的线：从左向右呈下降 状的线，其代表速度减小。 六、路程图象 1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间； 2、准确读懂不同走向的线所表示的意义： （1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）； （2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止； （3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。 七、三种变量之间关系的表达方法与特点： 表达方法 特 点 表格法 多个变量可以同时出现在同一张表格中 关系式法 准确地反映了因变量与自变量的数值关系 图象法 直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势 第七章 生活中的轴对称 轴对称图形 轴对称分类 轴对称 角平分线 轴对称实例 线段的垂直平分线 等腰三角形 生活中的轴对称 等边三角形 轴对称的性质 轴对称的性 质 镜面对称的性质 图案设计 轴对称 的应用 镶边与剪纸 一、轴对称图形 1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2、理解轴对称图形要抓住以下几点： （1）指一个图形； （2）存在一条直线（对称轴）； （3）图形被直线分成的两部分互相重合； （4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；