O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； ②当k>0时，函数图象的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 性质
4、反比例函数解析式的确定
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数y?k中，只有一个待定系数，因此只需要一xk(k?0)图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得的x矩形PMON的面积S=PM?PN=y?x?xy。
?y?k,?xy?k,S?k。 x第六章 频率与概率
概率的求法：
（1）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
m n（2）、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 （3）树状图法
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）
北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA?．．
?A的对边;
?A的邻边①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 ※二. 正弦： ．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA?※三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA?※余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA??A的邻边;
?A的对边?A的对边;
斜边?A的邻边;
斜边※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则 ①sinA?cos(90???A)； cosA?sin(90???A)
90???A)； cotA?tan(90???A) ②tanA?cot(※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角 ．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．
sinα cosα tanα cotα 0o 0 1 0 — 30 o 1 245 o 60 o 90 o 1 0 — 0 3 23 32 22 21 1 3 21 23 3 3※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 ※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
图1
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
3 ◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：
sinA?a,cbsinB?,cbcosA?,cacosB?,ctanA?a,bbtanB?,abcotA?;
aacotB?;
b11ab?chc(hc为C边上的高); 22a?b?c(5)直角三角形的内切圆半径r?
21 (6)直角三角形的外接圆半径R?c
2(4)面积公式:S??◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
B i=h:l h C A l 图2
图3
图4
※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即i?．．．．
h?tanA l◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分．．．别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、．．．OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如y?ax2?bx?c(a、、b、是常数，a?0)的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围．．．．是全体实数。 y?ax(a?0)是二次函数的特例，此时常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范．．．．．．．围。 ．※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
2①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：
;;?x?0时,y随x增大而减小?x?0时,y随x增大而增大A、当a＞0时? B、当a＜0时?
..?x?0时,y随x增大而增大?x?0时,y随x增大而减小
⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数y?ax?c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
2bb4ac?b2※二次函数y?ax?bx?c的图象是以x??为对称轴，顶点在（?，）的抛物线。（开
2a2a4a2口方向和大小由a来决定）
※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。 ※二次函数y?ax2?c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
※二次函数y?ax2?bx?c的图象与y＝ax2的图象的关系：
y?ax2?bx?c的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：
b4ac?b2 ①将y?ax?bx?c配方成y?a(x?h)?k的形式；（其中h=?，k=）；
2a4a22②把抛物线y?ax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；
③再把抛物线y?a(x?h)2向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到y?a(x?h)2?k的图象。 ※二次函数y?ax2?bx?c的性质：
b24ac?b2二次函数y?ax?bx?c配方成y?a(x?)?则抛物线的
2a4a22bb4ac?b①对称轴：x=? ②顶点坐标：（?，）
2a2a4a③增减性： 若a>0，则当x时，y随x的增大而增大。 ?．．．．．．．．．．．2a2abb时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。 ?．．．．．．．．．．．2a2a4ac?b24ac?b2bb④最值：若a>0，则当x=?时，y最小?；若a<0，则当x=?时，y最大?
2a2a4a4a※画二次函数y?ax2?bx?c的图象：
我们可以利用它与函数y?ax2的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
2bb4ac?b ①先找出顶点（?，），画出对称轴x=?；
2a2a4ab对称的四个点（如与坐标的交点等）； 2a③把上述五点连成光滑的曲线。
②找出图象上关于直线x=?¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。 ¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数y?ax2?bx?c的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程
ax2?bx?c?0的两个实数根
※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： b2?4ac>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点； b2?4ac=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；
b2?4ac<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；
※当b2?4ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：
|AB|?|x1?x2|?(x2?x1)2?(x1?x2)2?4x1x2
b2?4ac2化简后即为：|AB|?(b?4ac?0) ------ 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。
|a|第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所
形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，．．．．．记作⊙O，读作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，．．．．．．圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。 ．．对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ． 直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．．②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“．．．“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．．
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．．
”，读作