山西师范大学本科毕业论文
矩阵可逆的若干判别方法
郭晓平
数学与计算机科学学院
数学与应用数学
0701班 0751010139
姓 名 院 系 专 业 班 级 学 号
指导教师 宋蔷薇 答辩日期 成 绩
矩阵可逆的若干判别方法
内容摘要
对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】 矩阵 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 线性方程组
I
Some Methods for Judging Invertible Matrix
Abstract
The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.
Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.
【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix
Linear equations
II
目 录
一、引言…………………………………………………………………………………(01) 二、预备知识…………………………………………………………………………(01)
（一）基本概念…………………………………………………………………………(01) （二）可逆矩阵的性质…………………………………………………………………(01)
三、矩阵可逆的若干判别方法…………………………………………………(02)
（一）定义判别法………………………………………………………………………(02) （二）行列式判别法……………………………………………………………………(02) （三）秩判别法…………………………………………………………………………(02) （四）伴随矩阵判别法…………………………………………………………………(02) （五）初等变换判别法…………………………………………………………………(02) （六）初等矩阵判别法…………………………………………………………………(02) （七）矩阵向量组的秩判别法法………………………………………………………(03) （八）线性方程组判别法………………………………………………………………(03) （九）标准形判别法……………………………………………………………………(04) （十）多项式判别法……………………………………………………………………(04) （十一）特征值判别法…………………………………………………………………(05)
四、十种常见矩阵的可逆性……………………………………………………(05)五、矩阵可逆判别方法的实例…………………………………………………(07) 六、小结…………………………………………………………………………………(11)参考文献………………………………………………………………………………(11) 致谢………………………………………………………………………………………(12)
III
矩阵可逆的若干判别方法
学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇
一、引言
在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。
解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题），第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用于物理、数学、经济等方面。可逆矩阵在矩阵中有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。
本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。
二、预备知识
（一）基本概念
定义1【1】 设数域F上,n阶方阵A，如果存在n阶方阵B满足条件AB?E且
?1
?E,就称A可逆,并且称B是A的逆,记B?A.
*定义2 记A中元素aij的代数余子式为Aij，令A*?(Aij)Tn?n,我们称矩阵A为A的
BA伴随矩阵。
定义3[1] 矩阵A的行秩和列秩称为A的秩，记作r(A). 定义4[2] 矩阵的三类初等行变换： (1)互换某两行的位置；
(2)用F中某个非零数乘某行； (3)将某行的数倍加到另一行上。
初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。
定义5 初等矩阵，是对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵。 定义6 对A施加一系列初等变换,它变为B,则称A与B等价。 （二） 矩阵可逆的性质 性质1 (A?1)?1?A; 性质2 (A?1)T?(AT)?1; 性质3 (AB)?1?B?1A?1; 性质4 (kA)?1?k?1A?1;
性质5 矩阵A与它的伴随矩阵A*具有相同的可逆性，即A可逆?A*,且
(A*)?1?AA*
)?r(A)性质6[2] 设A?Fm?n,P,Q分别是m阶和n阶可逆方阵，r(PAQ
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