且r(PA)?r(AQ)
三、矩阵可逆的若干判别方法
（一）定义[1]判别法
设对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B满足条件AB?E且BA?E,就称A可逆,并且称B是A的逆,记B?A?1.
注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。
（二）矩阵行列式判别法
定理[2]：A可逆?A是方阵且A?0（非退化）。
（三）秩判别法 n阶矩阵A可逆?r(A)?nr(A)?n.
?n证明:由A可逆，知
A?0,再由矩阵秩的定义，可得r(A).所以由A可逆可推得
.反过来，必要性也显然成立。 （四）伴随矩阵判别法 A可逆?存在B?1AA*,使得AB?BA?E?1.
A* 证明：若A可逆，则显然A?0,且A1A*?1A. ,
反过来，如果有 B 则 A?1?A,AB?BA?E?B?1AA*. (1)
注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。
（五）初等变换判别法
对矩阵A施行初等行（或者列）变换得到的矩阵B,则B可逆?A可逆。
证明：设用初等行或列变换，将A变为B,因为初等变换是等价变换，从而并不改变A的秩，所以A与B秩相等，故A与B有相同的可逆性，从而B可逆?A可逆。
命题得证。
（六）初等矩阵判别法
定理[1]：方阵A可逆?A可表成一些初等矩阵的乘积： A?Q1Q2?Qs.
证明：充分性,由题知， A则有
A?Q1Q2?Qs?Q1Q2?Qs,
?0?Q1Q2?Qs,
故A可逆。
必要性的详细证明见于参考文献[1]第191页。 证毕。
定理[1]：方阵A可逆?A可以经过初等行变换化为单位矩阵。
证明：必要性，由矩阵A可逆，知它可以表示成一些初等矩阵P1P2?即A
Ps的乘积，
?P1P2?Ps,从而Ps?1?P2P1A?E?1?1,也就是说，A可以经过初等行变换化为单
- 2 -
位矩阵。
充分性，若A可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵P1,P2,?,Ps,
使得 P1P2故 A?P?11?PsA?E2,从A?1?P1P2?1?1?1?Ps?1, ,
P?1?Ps?1?P1P2?Ps?1?1?0因此A可逆。 证毕。
注：施加一系列初等行变换，可逆矩阵A可化为单位矩阵，那么类似地施加一系列初等列变换可逆矩阵也可化为单位矩阵。具体方法：用一系列初等行变换进行以下过程(AE)?(E A?1),则矩阵里右面的块即为A的逆矩阵。同理,作列变换时，则相应地进行???A??E?A??????1??这一过程，矩阵里下面的块即为的逆矩阵。
?E??A? （七）矩阵的向量组的秩判别法
1.定理[2]：n阶方阵A可逆?A的各列（行）线性无关。 2.n阶方阵A可逆?A的列（行）向量组的秩等于n.
证明：A可逆等价于r(A)?n,从而r(A)?n,从而A的各列（行）线性无关，从而A的列（行）向量组的秩等于n.
将上述论述反过来说也是完全成立的。 命题得证。
（八）线性方程组判别法
?a11x1?a12x2???a1,2nx2n?0??a21x1?a22x2???a2,2nx2n?01. 齐次线性方程组 ????????an1x1?an2x2???an,2nx2n?0?即AX?O（A为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解?A可逆。
证明：用?1,?2,?,?n分别代表系数矩阵各列，则齐次方程组变为
x1?1?x2?2???xn?n?0
,
方程组只有零解，即x1?x2???xn?0,从而?1,?2,?,?n线性无关，而?1,?2,?,?n线性无关的充要条件为A可逆。故命题得证。
?a11x1?a12x2??ax?a22x22.非齐次线性方程 ?211???ax?axn22?n11???a1nxn?b1,???a2nx2?b2,??????annxn?bn.
即AX?O（A为该方程组的系数矩阵）有唯一解?
A可逆。
?a1j??a2j?????a?nj????(1?j?n)???证明：用?1,?2,?,?n分别代表系数矩阵各列，即?j,则方程组
可以写成向量形式 x1?1?x2?2???xn?n??,
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由D?A?0,知?1,?2,?,?n成Fn?1的一组基，故Fn?1每个向量?都可以写成
,
?1,?2,?,?n的线性组合的形式，
即 x1?1?x2?2???xn?n??且系数x1,x2,?,xn由?唯一决定。换句话说，命题中的方程组有唯一解。 反过来，若方程组有唯一解，则必然有D （九）标准形判别法 引理
[1]
?A?0,否则，方程组无解或有无穷多解。
On?r??Os?r?：任何一个s?n?Er矩阵A都与一个形式为??Os?r 的矩阵等价，该矩阵称
为A的标准形，且r?r(A).其中Er为单位矩阵,O为零矩阵。
n阶方阵A可逆?矩阵A的标准形是E(n).
证明：根据引理可知，任何一个矩阵都可经过初等行或列变换化成引理中的标准对角阵。如果A可逆，那么A的秩只能是n,等于矩阵A的阶数，从而其标准形只能是单位矩阵。
反过来，如果A标准型是n阶单位矩阵，由引理，知A的秩为n,故A可逆。 注：该判别法大多用于非具体矩阵的理论性证明。 （十）多项式判别法
n?n的矩阵A可逆?有多项式f(x),满足f(A)?O,且常数项不为零。 证明：必要性，设A?(aij)n?n，f(?)是n?n的矩阵A的特征多项式，则
顿凯莱nf(?)??E?A???(a11?a22???ann)?n?1???(?1)An.
由A可逆,知定理，知
A?0,从而(?1)nA?0,即多项式f(?)的常数项不为零。又根据哈密
n?1f(A)?An?(a11?a22???ann)A???(?1)AEn?0,
,
故A的特征多项式f(?)为题中所求。
充分性，设有一常数项不为零的多项式则有
f(A)?Of(x)?amxm?am?1xm???a1x?a0(a0?0),即amAm1?am?1Am?1?L?a1A?a0E?O(a0?0)m?1，
所以 amAm 从而 ?a0(amA1?am?1Am?L?a1A??a0Em?1，
, ，
?am?1Am???a1)A?E 即 [?a0(amA?am?1Am?1???a1)]A?E故A可逆。
（十一）特征值判别法
n?n的矩阵A可逆?矩阵A的特征值全都不是零。
证明：必要性，假设n?n的矩阵A的特征多项式为f(?)，则
f(?)???(a11?a22???ann)?nn?1???(?1)nA,
根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于
A,又由A可逆，知A?0,故所有
A特征值全不为零。
充分性，因为所有特征值全不为零，而所有特征值之积等于逆，从而命题得证。
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,故A?0,从而A可
四、十种常见矩阵的可逆性
?1??0（一）单位矩阵E??????001?0????0??0?是可逆????1?的。
证明：显然EE?E成立，根据矩阵可逆的定义，可得单位矩阵道EkE?E，故Ek也是可逆的。
?b??0（二）数量矩阵B??????00????E可逆。而且知
b?00??0?????b?可逆。
证明：显然B?bE,而单位矩阵E是可逆的，再由矩阵可逆的性质4(kA)?1知， B?1?(bE)?1?b?1E?1?b?1E， 故B可逆。
?a??0（三）令对角矩阵A??????00b?0????0??0?????s??k?1A?1 如果它的主对角线上的元均不为零，则A是
可逆。
证明：记
?a??0 A??????00b?0????0??0?????s????? B??????1a0?001b?0?????0??0????1??s?,
显然AB?BA?E,根据矩阵可逆的定义，故A是可逆的。
（四）分块矩阵
1.设m?m矩阵C与n?n矩阵D,都是可逆的,
?C则(1)准对角矩阵????(2)???D??C??可逆，且??D??C?????1???D?D?1?C?????1???1?D?;
C????可逆，且???D??????C?1?1????.
证明：(1)因为C,D可逆，因而C?1,D?1存在，又因为
?C ?????C???D????1?1D?1??C????????1?1D??C??????????ED?，
?C故?????C??可逆，且??D?????D??C?????1???1?D?,
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?1?类似地，我们可以证明???DC???可逆，且?????D,D?Fn?nC?????????C?1D?1?1????.
2.设S?Fm?n,C?Fm?m,且C,D可逆，
S???E??1?E则(1)分块矩阵????C(2)分块矩阵???S???E??E与???S??E??可逆，且??E??S???D??1?E?????1?S???,E??1?E???S???E??1?E?????S???; E?S??C??可逆，并且??D???Fm?n?C?????CSD?1D????.
S?Q???E?证明：(1)因为对Q任意,我们有????ES??E????E???1Q??E?????E??成立，
?E特别地，若令Q??S，我们可以得到：????E同理，我们可得到： ???S?C(2)因为 ????1?1S???E??E?????S???, E????E??1?E?????S???. E?CS???E?C?1D??C??????S??E?????D???1 ,
?1?C 进而有 ???S??C?????D???1???1?D?S???E??1?1?1?E????1S???E?
?1?C 所以 ???S???D??E=????C?C???D?1??C????????C?1SD?1?1D????.
（五）正交矩阵是可逆的。
证明：设A是正交矩阵，根据正交矩阵的定义,可以得到AAT?E,故A是可逆的。 （六）当i?j(i?j)时，有aij?0,矩阵A?(aij)称为上三角形矩阵，可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵。这个结论对下三角形矩阵也是成立的。
证明:令
E?a11?A??????a1n????ann???b11?,设B????b?n1???b1n????bnn??是A的逆，即AB?BA?E,比较
和AB的第一列元素：
1?a11b11?a12b12???a1nb1n,0?a21b21?a22b22???a2nb2n, ?0?an?1,n?1bn?1,1?an?1,nbn1,0?annbn1,
因为
A?0，故a11?0,a22?0,?,ann?0?0,因而bn1?bn?1,1???b21?0.同理可以比
较其它列，得i?j时,bij,所以B是上三角形矩阵，故可逆上三角形矩阵的逆仍是上
三角形矩阵。
同理，结论对下三角形矩阵也是成立的。
（七）如果矩阵是奇数阶的，也是反对称的，则它是不可逆的。
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