5．已知函数f（x）=axex﹣（a+1）（2x﹣1）．
（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程； （2）当x＞0时，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）若a=1，则f（x）=xex﹣2（2x﹣1）， 当x=0时，f（0）=2，f'（x）=xex+ex﹣4， 当x=0时，f'（0）=﹣3，
所以所求切线方程为y=﹣3x+2．……（3分） （2）由条件可得，首先f（1）≥0，得而f'（x）=a（x+1）ex﹣2（a+1），
令其为h（x），h'（x）=a（x+2）ex恒为正数， 所以h（x）即f'（x）单调递增，
而f'（0）=﹣2﹣a＜0，f'（1）=2ea﹣2a﹣2≥0， 所以f'（x）存在唯一根x0∈（0，1]，
且函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0+∞）上单调递增， 所以函数f（x）的最小值为只需f（x0）≥0即可， 又x0满足代入上式可得∵x0∈（0，1]，∴
即：f（x0）≥0恒成立，所以
6．函数f（x）=xex﹣ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=﹣x+1． （1）求a和b的值；
（2）若f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=xex﹣ax+b， ∴f′（x）=（x+1）ex﹣a，
由函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为：y=﹣x+1，知：
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，
，
，
，
，
．……（13分）
，
解得a=2，b=1．
（2）∵f（x）满足：当x＞0时，f（x）≥lnx﹣x+m， ∴m≤xex﹣x﹣lnx+1，①
令g（x）=xex﹣x﹣lnx+1，x＞0， 则
=
=
，
，从而lnx0=﹣x0，
设g′（x0）=0，x0＞0，则g′（）=3（
）＜0，g′（1）=2（e﹣1）＞0，
，
由g′（）﹣g′（1）＜0，知：当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0； 当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． ∴g（x）min=g（x0）=
﹣x0﹣lnx0=
﹣x0﹣lnx0=x0?
﹣x0+x0=1．
m≤xex﹣x﹣lnx+1恒成立?m≤g（x）min， ∴实数m的取值范围是：（﹣∞，1]．
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7．已知函数f（x）=3ex+x2，g（x）=9x﹣1． （1）求函数φ（x）=xex+4x﹣f（x）的单调区间； （2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明． 【解答】解：（1）φ'（x）=（x﹣2）（ex﹣2）， 令φ'（x）=0，得x1=ln2，x2=2； 令φ'（x）＞0，得x＜ln2或x＞2； 令φ'（x）＜0，得ln2＜x＜2．
故φ（x）在（﹣∞，ln2）上单调递增，
在（ln2，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增． （2）f（x）＞g（x）．
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证明如下：
设h（x）=f（x）﹣g（x）=3ex+x2﹣9x+1，∵h'（x）=3ex+2x﹣9为增函数， ∴可设h'（x0）=0，∵h'（0）=﹣6＜0，h'（1）=3e﹣7＞0，∴x0∈（0，1）． 当x＞x0时，h'（x）＞0；当x＜x0时，h'（x）＜0． ∴h（x）min=h（x0）=又∴
，∴
=
，
=（x0﹣1）（x0﹣10），
，
∵x0∈（0，1），∴（x0﹣1）（x0﹣10）＞0， ∴h（x）min＞0，∴f（x）＞g（x）．
8．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：【解答】解：（1）
，
．
①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增， ②当a＞2时，设2ax2﹣2ax+1=0的两个根为
，
y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在（x1，x2）单调递减．
（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0， 由（1）可知a＞2，且于是：由①②得则
①，设
，因此g（x）在
上单调递减， ．
②
，
，且
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又，
根据零点存在定理，故
9．已知函数f（x）=
．
，其中a为常数．
（1）若a=0，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a=﹣1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，求证：f（x0）＜﹣2． 【解答】解：（1）f（x）=令f′（x）＞0，解得0＜x＜则f（x）在（0，故f（x）极大值=f（
的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＜0，解得：x＞
，+∞）递减，
，
，
）递增，在（）=
，无极小值；
（2）函数f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠﹣a}．
=
，
要使函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，则a＜0， 又x∈（0，﹣a）时，a＜x+a＜0，
只需1+﹣2lnx≤0在（0，﹣a）上恒成立， 即a≥2xlnx﹣x在（0，﹣a）上恒成立，
由y=2xlnx﹣x的导数为y′=2（1+lnx）﹣1=1+2lnx， 当x＞当﹣a≤当﹣a＞
时，函数y递增，0＜x＜即﹣
时，函数y递减，
＜a＜0时，函数递减，可得a≥0，矛盾不成立；
时，函数y在（0，
）递减，在（
，﹣a）递增，
即a＜﹣
可得y＜﹣2aln（﹣a）+a，
可得a≥﹣2aln（﹣a）+a，解得﹣1≤a＜0， 则a的范围是[﹣1，0）；
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（3）证明：a=﹣1，则f（x）=
导数为f′（x）=，
设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0， 可得1﹣2lnx0﹣即有2lnx0=1﹣
=0， ，
+2＜0，
要证f（x0）＜﹣2，即
由于+2=+2
==，
不成立，
由于x0∈（0，1），且x0=，2lnx0=1﹣则
+2＜0，
故f（x0）＜﹣2成立．
10．已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax?ex﹣4x，其中a为大于零的常数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）． 【解答】解：（Ⅰ）
…………………………………（2分）
x∈（0，1）时，f'（x）＞0，y=f（x）单增；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，y=f（x）单减 ………………………．（4分） （Ⅱ）证明：令h（x）=axex﹣4x﹣2lnx+2x﹣2=axex﹣2x﹣2lnx﹣2（a＞0，x＞0）…………………．（5分）
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故
令h'（x）=0即
……………………………．（7分） ，
两边求对数得：lna+x0=ln2﹣lnx0即 lnx0+x0=ln2﹣lna………………．（9分） ∴
∴h（x）≥2lna﹣2ln2……………………………（12分）
11．已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）． （Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=
…（2分）
，
当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分） 当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减； （Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx， 要证明f（x）+ex＞x2+x+2，
只需证明ex﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=ex﹣lnx﹣2， 则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0， 令g′（x）=ex﹣=0，得ex=，
容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足ex0=当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表
x g′（x） g（x） （0，x0） ﹣ 递减 +x0﹣2，
x0 0 ，
（x0，∞） + 递增 g（x）min=g（x0）=ex0﹣lnx0﹣2=
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