高二数学导数的定义、求导的公式、切线（理）人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
导数的定义、求导的公式、切线
二. 重点、难点： 1. 定义：f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim
?x?0?x?x?0?x2. 初导函数的导数公式 （1）f(x)?c ∴ f?(x)?0 （2）f(x)?xn ∴ f?(x)?n?xn?1 （3）f(x)?sinx ∴ f?(x)?cosx （4）f(x)?cosx ∴ f?(x)??sinx
（5）f(x)?ax ∴ f?(x)?axlna（a?0且a?1） （6）f(x)?logax ∴ f?(x)?logae?3. 导数运算
（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)
（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) （3）[1 xf(x)f?(x)g(x)?f(x)?g(x) ]??g(x)g2x??（4）y?x?yuux
4. y?f(x)在x?x0处的切线方程
y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
【典型例题】
2[例1] 利用导数的定义求函数y?x的导数，并求该函数在x?3处的导数值。 222解：∵ ?y?f(x??x)?f(x)?(x??x)?x?2x?x?(?x)
∴
?y?y?2x??x 因此f?(x)?lim?2x，从而f?(3)?2?3?6
?x?0?x?x[例2] 已知f(x)在x?a处可导，且f?(a)?b，求下列极限： （1）limh?0f(a?3h)?f(a?h)
2hf(a?h2)?f(a)（2）lim
h?0h解：（1）limh?0f(a?3h)?f(a?h)
2hf(a?3h)?f(a)?f(a)?f(a?h)h?02hf(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)?lim?limh?0h?02h2h
3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a)?lim?lim2h?03h2h?0?h31?f?(a)?f?(a)?2b22?limf(a?h2)?f(a)f(a?h2)?f(a)?lim[h] （2）limh?0h?0hh2f(a?h)2?f(a)?lim?limh?f?(a)?0?0 2h?0h?0h
[例3] 求下列函数的导数 （1）y?f(x)?32x2?3x?2x12
12113?33?解：f(x)?x?3?x?2?x ∴ f?(x)??x2?x2?x2
22?（2）y?x 21?x(1?x2)?x?(?2x)1?x2解：f?(x)? ?2222(1?x)(1?x)（3）y?f(x)?解：f?(x)?1?sinx
1?cosx?cosx(1?cosx)?sinx(1?sinx)sinx?cosx?1?
(1?cosx)2(1?cosx)2（4）y?f(x)?sinx3?sin3x 解：f?(x)?cosx3?3x2?3sin2x?cosx （5）y?ln(3x2?x?sinx) 解：y??16x?1?cosx(6x?1?cosx)?
3x2?x?sinx3x2?x?sinx（6）f(x)?x?10sinx
解：f?(x)?10sinx?x?10sinx?ln10?cosx （7）y?xx
解：lny?lnxx?x?lnx 同时求导：
[例4] 求曲线y?x2在点P（2，4）处的切线方程。
解：P（2，4）在y?x2上，y??2x,x?2时，f?(x)?k?4
1?y??lnx?1 ∴ y??xx?(lnx?1) yy?4?4(x?2) ∴ 4x?y?4?0
[例5] 曲线y?2x?3x?26在点A处切线的斜率为15，求切线方程。 解：设切点A（x0,y0） y??4x?3 ∴ 4x0?3?15 x0?3 ∴ y0?1 ∴ l切:y?1?15(x?3) ∴ 15x?y?44?0
[例6] 过点P（2，0）且与曲线y?21相切的直线方程。 x解：P不在曲线上，设切点A（x0,y0）
1?y??0x?x0?11?0 l切:y?y0??2(x?x0) ∴ ???x01y?1?0?y??(2?x)?0002?x0?∴ l切:y?1??(x?1) ∴ x?y?2?0
[例7] 求过P（2，－2）与曲线y?3x?x3相切的切线方程。 解：设切点A（a,b） y??3?3x2 l切:y?b?(3?3a2)(x?a)
3??b?3a?a32a?3a∴ ? ∴ +4=0 2???2?b?(3?3a)(2?a)∴ ?
?a??1?a?2 l切:y??2或? l切:9x?y?16?0
?b??2?b??2[例8] 求曲线C1：y?x2，曲线C2:y??(x?2)2的公切线（均相切的直线） 解：公切线l与C1、C2切于A（a,a2）B（b,?(b?2)2）
∴ l1:y?a2?2a(x?a) l2:y?(b?2)2??2(b?2)(x?b)
2??l1:y?2ax?a∴ ? l1,l2为同一条直线 2??l2:y??2(b?2)x?(b?4)?2a??2(b?2)?a?2?a?0或? ∴ 两公切线：y?4x?4,y?0 ???22?b?0?b?2??a?b?4
[例9] 函数f(x)?x(x?1)(x?2)(x?线。
解：x?0,y?0
11)?(x?n)(x?)，求y?f(x)在x?0处的切2n11f(x)?x?[(x?1)(x?2)(x?)?f(x?n)?f(x?)]
2n11f?(x)?[(x?1)(x?2)(x?)?(x?n)?(x?)]?2n
11x?[(x?1)(x?2)(x?)?(x?n)?(x?)]?2nx?0,f?(x)?1 ∴ l切:y?x
3[例10] 关于x的多项式函数y?f(x)，x?R，有f?(x)?f(x)?f?(x)?f(x)?2x?
2x?1。
解：设y?f(x)的最高次数为n ∴ f?(x)的最高次数为n?1
左式最高2n?1次，右次最高n或3次
（1）2n?1?n,n?1（舍） （2）2n?1?3,n?2 ∴ f(x)?ax2?bx?c ∴ f?(x)?2ax?b ∴ f(x)?f?(x)?(ax2?bx?c)?(2ax?b)
?2a2x3?3abx2?(2ac?b2)x?bc
f?(x)?f(x)?2x3?2x?1?2x3?ax2?(2a?b?2)x?(b?c?1)
?2a2?2?a?1?3ab?a??对应系数相等 ∴ ???b?1 2?2ac?b?2a?b?2?c?1??bc?b?c?1?∴ f(x)?x2?x?1
[例11] 已知f(x)?x2?ax?b，g(x)?x2?cx?d且f(2x?1)?4g(x)且
f?(x)?g?(x)且f(5)?30，求g(4)
22解：f(2x?1)?4g(x) ∴ 4x?(4?2a)x?(1?a?b)?4x?4cx?4d
?4?2a?4c(1)∴ ? f?(x)?g?(x) ∴ 2x?a?2x?c
?a?b?1?4d(2)∴ a?c（3） f(5)?30 ∴ 5a?b?5（4） ∴ a?2,b??5,c?2,d??
147 ∴ g(4)? 22【模拟试题】
1. 求下列函数的导数： （1）y?1543x?x?3x?2 535353（2）y?(3x?4x)(4x?3x) （3）y?33x4?4x3 2. 求下列函数的导数 （1）f(x)?xtanx?2 cosx