南通2010届高三第二次调研测试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
π1．命题“?x?(0,)，tanx?sinx”的否定是 ▲ ．
2z2．已知复数z1?m?2i,z2?3?4i,若1为实数，则实数m的值为 ▲ ．
z23．曲线y?2x?lnx在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．
4．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=2．在BC边上任取一点M，则∠AMB≥90°的概率为 ▲ ． 5．某算法的伪代码如下：
S←0 i←1
While i≤100 S←S?1 i(i?2) i←i＋2 End While Print S
则输出的结果是 ▲ ． 6．设全集U=R，A={x|3x?2}，则A?B? ▲ ． <0}，B={x | sin x≥2x+17．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即：
l____m?▲
??m ▲ α．
l____??▲ x??2?1,x?0,8．已知函数f(x)??2若函数g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
?x?2x,x≤0.??9．设圆x2?y2?1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为 ▲ ． 10．将正偶数按如图所示的规律排列：
2 4 8 14 ??
则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为 ▲ ．
6 10 12 16 18 20
11．已知函数f(x)?Asin??x???(A?0,??0)的图象与直线y?b?0?b?A?的三个相邻交点的横坐标分别
是2，4，8，则f(x)的单调递增区间是 ▲ ．
12．A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C
E F A B D C uuruuur交于P、Q两点，若PB?AQ?0，则双曲线C的离心率e＝ ▲ ． 13．如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，
????????????设AP??AB??AF（α、β∈R），则α+β的取值范围是 ▲ ． 14．设函数f(x)?x2?ax?a?3，g(x)?ax?2a．若存在x0?R，
使得f(x0)?0与g(x0)?0同时成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．
（第13题）
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点． （1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD?平面AFC．
16．（本小题满分14分）
sin??，b??cosx， sinx?，c??sinx?2sin?， cosx?2cos??，其中0???x?π． 已知向量a??cos?，A1 B1 F C1
D1
A B
C （第15题）
D
（1）若??π，求函数f(x)?b?c的最小值及相应x的值； 4π，且a⊥c，求tan2?的值． 3（2）若a与b的夹角为
17．（本小题满分15分）
设等比数列?an?的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.
（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列?an?中任意不同的两项之积仍为数列?an?
中的项；
（2）若数列?an?中任意不同的两项之积仍为数列?an?中的项，求证：存在整数m，且
m≥－1，使得a1=qm.
18．（本小题满分15分）
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（3c，0）三点，其中c＞0． （1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
y2x2（2）已知椭圆2?2?1(a?b?0)（其中a2?b2?c2）的左、右顶点分别为D、B，
ab⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
19．（本小题满分16分）
某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中高0.5米，AB=1米， CD=2a（a＞
1）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD2的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x
的函数S?f?x?；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．
m M m N D M A E N B C D A E B C 20．（本小题满分16分）
（第19题） 142设函数f（x）＝x＋bx＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值． 4（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数
m的取值范围；
（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f
（x）－
12
x＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点． 2附加题部分
B．选修4－2 矩阵与变换 ?cos?若点A（2，2）在矩阵M???sin??sin??对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的
cos???逆矩阵．
C．选修4－4 坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：?x?4t2,?（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB． ?cos(??)?22与曲线C2：?4?y?4t
22．一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，
取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球． （1）写出甲总得分ξ的分布列； （2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
23．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝an2＋a1，M??a?Rn?N*， | an|≤2?．
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：a?M； （2）当a∈（0，（3）当a∈（
1］时，求证：a∈M； 41，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论． 4数学参考答案及评分建议
π1．?x?(0,)，tanx≤sinx
232．? 3．x?y?1?0
2
8．（0，1） 13．[3，4]
4．
1 4
5．
50 101π6．[,2)
3
7．∥，⊥，⊥ 9．2 10．n2?n?8
A1 F C1
D1
) 11．[6k,6k?3](k?Z12．2 14．（7，＋∞）
15．证明：（1）连接BD交AC于点O，
B1 连接FO，则点O是BD的中点．
∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．??4分
又A1B?平面AFC，FO?平面AFC，
A D ∴A1B∥平面AFC． ????????????7分
C B （2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D． （第15题）
∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．???????9分 又∵CD⊥平面A1ADD1，AF?平面A1ADD1，∴CD⊥AF．
又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD． ??????????????12分 ∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．
而B1D?平面A1B1CD，∴平面A1B1CD?平面AFC．????????14分
16． 解：（1）∵b??cosx, sinx?, c??sinx?2sin?, cosx?2cos??，??π， 4∴f(x)?b?c?cosxsinx?2cosxsin??sinxcosx?2sinxcos?
?2sinxcosx?2(sinx?cosx)．???????????????2分
令t?sinx?cosx(0?x?π)，则2sinxcosx?t2?1，且?1?t≤2． 则y?f(x)?t2?2t?1?(t?223)?，?1?t≤2． 22 ∴t??223时，ymin??，此时sinx?cosx??．?????????5分 22211π由于0?x?π，故x?．
12311π 所以函数f(x)的最小值为?，相应x的值为． ?????????7分
212（2） ∵a与b的夹角为
∴cossπ， 3πa?b??cos?cosx?sin?sinx?cos(x??)．????????9分 3|a|?|b|π． 3∵a⊥c，∴cos?(sinx?2sin?)?sin?(cosx?2cos?)?0． ∵0???x?π，∴0?x???π，∴x???π∴sin(x??)?2sin2??0，sin(2??)?2sin2??0． ????????12分
3533cos2??0，∴tan2???∴sin2??．????????????14分
22517．证明：（1）设ar,at为等比数列?an?中不同的两项，由a1?qm，