得ar?at?a1qr?1?a1qt?1?a1?q(r?t?m?1)?1．???????????????2分 又r?t≥3，且m≥?1，所以r?m?t?1≥1．
所以ar,at是数列?an?的第r?m?t?1项． ?????????????6分 （2）等比数列?an?中任意不同两项之积仍为数列?an?中的项，
令as?at?al(l,t,s?N*,t?s)，由as?a1?qs?1，at?a1?qt?1，al?a1?ql?1， 得a1?qs?1??a1?qt?1?a1?ql?1，a1?ql?s?t?1．
令整数m?l?s?t?1，则a1?qm．????????????????9分 下证整数m≥?1．
若设整数m??1，则?m≥2．令k??m， 由题设，取a1,ak，使a1?ak?ar(r?N*) ，
即a1?a1?qk?1?a1?qr?1，所以qm?q?m?1?qr?1，即q?1?qr?1．?????12分 所以q>0，q≠1，?1?r?1，r?0与r?N*矛盾!
所以m≥?1．?????????????????????????15分
18． 解：（1）设⊙M的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，
?23D??c,??c?Ec?F?0,3??2?则由题设，得?c?Ec?F?0,解得?E?0, ?????????3分
?2?F??c2.?3c?3Dc?F?0.???2⊙M的方程为x2?y2?⊙M的标准方程为(x?23cx?c2?0， 3324c)?y2?c2． ?????????????5分 333c,0)，又B(b,0)，D(?b,0)， 3（2）⊙M与x轴的两个交点A(3c,0)，C(??3c?b,?3c?b,?3c2?a2?c2,???由题设?3 即?3 所以?12?????????7分 22c?a?c.c??b,????c?b.?3?3?3解得
1c313??，即 ?e?． 2a22213)．???????????????10分 所以椭圆离心率的取值范围为(,22（3）由（1），得M(333c,0)．由题设，得3c?b?b?c?c． 333
∴b?2323c，D(?c,0)． 33∴直线MF1的方程为x3c3x?y?1， ① cy?1． ②?????????????13分 c4333c,3c)，易知kOQ?为定值， 3433x上．???????15分 4直线DF2的方程为?23c3?由①②，得直线MF1与直线DF2的交点Q(∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线y?19． 解：（1）（一）0≤x?MN?1x1?． 时，由平面几何知识，得
12a?122∴MN?2(2a?1)x?1，S?f?x???(2a?1)x2?(a?1)x?（二）
1． ?????3分 41111111?x?a?时，S?f?x???2a2?(x?)2?(x?)?a2?(x?)2?(x?)，
222222211?2?(2a?1)x?(a?1)x?,x?[0,),?42?∴S?f(x)??????????????5分
1111?a2?(x?)2?(x?),x?(,a?).?2222?（2） （一）0≤x?11时，S?f?x???(2a?1)x2?(a?1)x?． 24a?11?aa?111???0，∴?． ∵a?，∴
2(2a?1)22(2a?1)2(2a?1)22①
11?a≤1，当x?0时，[f(x)]max?f(0)?．
42a?1a?1a2]?②a?1，当x?时，[f(x)]max?f[．?????7分
2(2a?1)2(2a?1)4(2a?1)（二）
11?x?a?时， 2211111?2a2?(x?)2?(x?)?a2?(x?)2?(x?) 22222S?f?x??11(x?)2?[a2?(x?)2]1122?1a2， ?(x?)2[a2?(x?)2]≤222211111等号成立?(x?)2?a2?(x?)2 ?x?(2a?1)?(,a?)．
22222a21∴当x?(2a?1)时，[f(x)]max?．????????????????10分
22a211221)(a?)， A．?a≤1时，∵??(a?242222
∴
121?a≤时．当x?0，[f(x)]max?f(0)?， 2242a21?a≤1时，当x?(2a?1)，[f(x)]max?．???????????12分
22212a24a?32?a?0． B．a?1时，a?24(2a?1)4(2a?1)a21当x?(2a?1)时，[f(x)]max?．?????????????????14分
22综上，
121?a≤时，当x?0时，[f(x)]max?f(0)?，即MN与AB之间的距离为0米时，224三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为[f(x)]max211平方米．a?时，当x?(2a?1)时，
242a21?， 即MN与AB之间的距离为x?(2a?1)米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，221最大面积为a2平方米．?????????16分
2
120．解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c．??2分
4由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．
考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2． x h ′（x） h（x） （－∞，－2） ＋ 增 －2 0 c＋16 （极大值） （－2，2） － 减 2 0 c－16（ 极小值） （2，＋∞） ＋ 增 ?c?16?0,所以? 故－16 c?16?0.?（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c， （*） 所以x3－12x>－16， 即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立． ????7分 所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集． ?m?2??4,所以?或m－2>2，即－2 m?2?2,?（3）由题设，可得存在α，β∈R，使 f ′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β）， 2 且x＋αx＋β≥0恒成立． ???????????????????11分 又f′（t2）＝0，且在x＝t2两侧同号， 所以f′（x） ＝（x－t1）（x－t2）2． ????????????????13分 另一方面， g ′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c ＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］． 因为 t1 < x < t2，且 t2－t1<1，所以－1< t1－t2 < x－t2 <0． 所以 0<（x－t2）2<1，所以（x－t2）2－1<0． 而 x－t1>0，所以g ′（x）<0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减． 从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点．?????????????16分 B．选修4－2 矩阵与变换 ?2???2??2cos??2sin????2?解：M????? ，即????2? ，???????????????4分 222sin??2cos??????????cos??sin???1,?cos??0,所以? 解得? ?????????????????6分 ?sin??cos??1.?sin??1.?0?1??10??01?．由M?1M??，得M?1?????．?????????10分 0??1001????0?1?01?另解：M? ＝1?0， M?1???． 10?10??所以M???1另解：M???1?0?1??cos90??sin90????旋转变换矩阵，于是?，看作绕原点O逆时针旋转90°0???sin90?cos90???cos(?90?)?sin(?90?)??01?M?1??????10?． sin(?90?)cos(?90?)???? 解：曲线C1的直角坐标方程x?y?4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2?4x，?4分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将这两个方程联立，消去x， 得y2?4y?16?0?y1y2??16，y1?y2?4．??????????????6分 ?x1x2?y1y2?(y1?4)(y2?4)?y1y2?2y1y2?4(y1?y2)?16?0．????8分 ????????∴OA?OB?0，?OA?OB．?????????????????????10分 22． 解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记?为甲总得分． 54??1?2??3?， ??3??27，P(??7)?C3?????125125?5??5??5?2?C3?32 P(??6)P(??8)?8??36??2?，P(??9)??2??．?????????4分 ??3??551255125??????23? P（x＝?） 6 7 8 9 27125 54125 36125 8125 ?????????????????7分 （2）甲总得分ξ的期望 3654368E（ξ）＝6?27?7?＝．????????10分 ? 8??9?1251251251255 23． 证明：（1）如果a??2，则a1?|a|?2，a?M． ???????????????2分 11（2） 当 0?a≤时，an≤（?n≥1）． 421 事实上，〔〕当n?1时，a1?a≤． 2设n?k?1时成立（k≥2为某整数）， 则〔〕对n?k，ak≤ak?1* 2?1?11?a≤????． ?2?422由归纳假设，对任意n∈N，|an|≤ （3） 当a?1时，a?M．证明如下： 41＜2，所以a∈M．??????????6分 2对于任意n≥1，an?a?12，且an?1?an?a． 41112对于任意n≥1，an?1?an?an?an?a?(an?)2?a?≥a?， 244则an?1?an≥a?1． 41 所以，an?1?a?an?1?a1≥n(a?)． 4当n?2?a1时，an?1≥n(a?)?a?2?a?a?2，即an?1?2，因此a?M． 14a?4???????????????????10分