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二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
【考点梳理】
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有不包括边界直线 点组成的平面区域 包括边界直线 Ax＋By＋C>0 Ax＋By＋C≥0 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2．线性规划中的相关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 【考点突破】 考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
A． B． C． D．
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x＋y－2≥0，??
(2) 不等式组?x＋2y－4≤0，
??x＋3y－2≥0
[答案] (1) C (2) 4
??x－2y＋1≥0，??x－2y＋1≤0，
?[解析] (1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或?画出平面区域?x＋y－3≤0?x＋y－3≥0.??
表示的平面区域的面积为__________．
后，只有C符合题意.
(2)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
??x＋3y－2＝0，
由?
?x＋2y－4＝0?
??x＝8，
得?
?y＝－2，?
∴A(0，2)，B(2，0)，C(8，－2)．
直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4，0)． 11
因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.
22【类题通法】
1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：
(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和. 【对点训练】
??x－3y＋6≥0，
1．不等式组?表示的平面区域是( )
?x－y＋2<0?
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A． B． C． D． [答案] B
[解析] x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.
y≤－x＋2，??
2．不等式组?y≤x－1，所表示的平面区域的面积为( )
??y≥0
111
A．1 B． C． D． 234[答案] D
[解析] 作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.
??y＝－x＋2，1111
由?得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 2224?y＝x－1，?
考点二、求目标函数的最值问题
x－y＋1≥0，??
【例2】(1)若x，y满足约束条件?x＋y－3≥0，
??x－3≤0，x＋y≤2，??
(2)若变量x，y满足?2x－3y≤9，
??x≥0，
2
则z＝x－2y的最小值为_____．
则x＋y的最大值是( )
2
A．4 B．9 C．10 D．12
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x≥－1，??
(3)若变量x，y满足约束条件?y≥x，
??3x＋5y≤8，
则z＝
yx－2
的取值范围是______．
x＋3y＋5≥0，??
(4)已知实数x，y满足：?x＋y－1≤0， 若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝( )
??x＋a≥0，
A．1 B．2 C．4 D．8 1??[答案] (1) －5 (2) C (3) ?－1，? (4) B
3??
x－y＋1≥0，??
[解析] (1)不等式组?x＋y－3≥0，
??x－3≤0
表示的可行域如图阴影部分所示．
11
由z＝x－2y得y＝x－z.
22
1
平移直线y＝x，易知经过点A(3，4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
2(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x＋y表示平面区域内的点到原
?x＋y＝2，?
点距离的平方，由?
??2x－3y＝9
2
2
得A(3，－1)，由图易得(x＋y)max＝|OA|＝3＋(－1)＝10.
22222
故选C.
x≥－1，??
(3)作出不等式组?y≥x，
??3x＋5y≤8
所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，
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11?y?其中点A(1，1)，B(－1，－1)，C?－1，?.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2，0)5?x－2?1－11
的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.
1－2－1－23
(4)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点
a－5?a－5?C?－a，＝－4，解得a＝2，选B. ?时，z取得最小值－4，所以－a＋2·
?3?
3
【类题通法】
1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.
2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：
(1)x＋y表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，（x－a）＋（y－b）表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，
2
2
2
2
yxy－b表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. x－a3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件. 【对点训练】
x＋3y≤3，??
1．若设x，y满足约束条件?x－y≥1， 则z＝x＋y的最大值为( )
??y≥0，
A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] D