课堂达标(三十二) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[A基础巩固练]
1．下列不等式一定成立的是( )
?21?A．lg?x＋?>lg x(x>0)
4??
B．sin x＋
2
1
≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D.
1
>1(x∈R) x2＋1
11?21?2
[解析] 当x>0时，x＋≥2·x·＝x，所以lg?x＋?≥lg x(x>0)，
4?42?故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确； 由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有[答案] C
12
2．(高考湖南卷)若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为( )
1
＝1，故选项D不正确． x＋1
2
abA.2 C．22
B．2 D．4
2
1212
[解析] 由＋＝ab知a>0，b>0，所以ab＝＋≥2 ababab，即ab≥22，当且仅
12??a＝b，当?12??a＋b＝
ab，
44
即a＝2，b＝2 2时取“＝”，所以ab的最小值为22.
[答案] C
3．(2017·山东)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是( ) 1bA．a＋
b21bC．a＋
1
b1
B.a
[解析] 因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1,0
＋>a＋>a＋b?a＋>log2(a＋b)，所以选B.
bbbb[答案] B
4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x＋y－2x－4y＝0截得的弦长为25，则ab的最大值是( )
A．9 C．4
9B. 25D. 2
2
2
2
2
[解析] 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)＋(y－2)＝5，圆心坐标为(1,2)，半9
径r＝5，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2a·2b，可得ab≤，当且仅当a29
＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.
2
[答案] B
192
5．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x＋4x＋18＝m对任意实数x恒成立，
ab则实数m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) C．(－∞，6]
19
[解析] 因为a>0，b>0，＋＝1，
B．(－∞，3] D．[6，＋∞)
abb9a?19?2
所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝10＋＋≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x＋4x＋18
ab??
ab－m，
即x－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x－4x－2＝(x－2)－6，所以x－4x－2的最小值为－6，
所以－6≥－m，即m≥6. [答案] D
1119
6．(2018·吉林九校第二次联考)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是
aba－1b－1( )
A．1 C．9
B．6 D．16
2
2
2
2
2
11a1
[解析] ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋aba－1a－19191
＝＋＝＋9(a－1)≥2b－1a－1aa－1
－1a－1
1a－1
a－＝6，当且仅当
1
＝9(a－a－1
4
1)，即a＝时等号成立，所以最小值为6.故选B.
3
[答案] B
7．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是______．
[解] 考察基本不等式x＋2y＝8－x·(2y)≥8－?整理得(x＋2y)＋4(x＋2y)－32≥0
即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0， 所以x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时取等号) 则x＋2y的最小值是4. [答案] 4
8．(2018·盐城三模)若a，b均为非负实数，且a＋b＝1，则______．
[解析] 由题意可知：3a＋3b＝3，故：
14
＋ a＋2b2a＋b14＋的最小值为a＋2b2a＋b2
?x＋2y?2(当且仅当x＝2y时取等号)
??2?
1?1＋4? ＝×[(a＋2b)＋(2a＋b)]??3?a＋2b2a＋b?1?2a＋b＋＝?5＋
a＋2b3?1?
≥×?5＋23?
a＋2b?
2a＋b??
2a＋b4a＋2b?1×?＝×9＝3. a＋2b2a＋b?3
当且仅当a＝1，b＝0时等号成立． [答案] 3
9．(高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为______． [解析] 令t＝a＋1＋b＋3，则t＝a＋1＋b＋3＋2
2
a＋b＋＝9＋2
a＋b＋≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取
73
等号，此时a＝，b＝.所以tmax＝18＝3 2.
22
[答案] 32
10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
3
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11
(2)求＋的最小值．
xy[解] (1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy.
∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有
??2x＋5y＝20，?
?2x＝5y，?
??x＝5，
解得?
?y＝2，?
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg x＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
11?11?2x＋5y1?5y2x?1?
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝?＋?·＝?7＋＋?≥?7＋2
xy?20?xy?xy?2020?7＋2105y2x，当且仅当＝时，等号成立． 20xy2x＋5y＝20，??
由?5y2x＝，??xy5yx2x?
·?＝
y?
1010－20?x＝，?3解得?
20－4010y＝??3
117＋210
∴＋的最小值为. xy20
[B能力提升练]
3x－y－6≤0，??
1．(2018·河北五校联考)设x，y满足约束条件?x－y＋2≥0，
??x≥0，y≥0，
若目标函数z＝
ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
abA.C.25
611
3
8B. 3D．4
32
[解析] 不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，
abzbzbab 4
4a9b?322a＋3b?32?1?
所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·?＋?＝?6＋6＋＋?≥4，当且
ba?ab6?ab?6?3
仅当a＝，b＝1时等号成立．
2
[答案] D
2．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝14
4a1，则＋的最小值为( )
mn3A. 29C. 4
5B. 3D.25 6
6
5
4
[解析] 由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q＝a1q＋2a1q，所以q－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为aman＝4a1，所以q所以2
m＋2－2
4
2
m＋n－2
＝16，
＝2，所以m＋n＝6.
141?14?所以＋＝(m＋n)?＋? mn6?mn?1?n4m?1?＝?5＋＋?≥?5＋2
mn?6?6?当且仅当＝
n4m?3
·?＝. mn?2
n4m时，等号成立， mn又m＋n＝6，解得m＝2，n＝4，符合题意． 143故＋的最小值等于. mn2[答案] A
3．(2018·潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)＋(y－1)＝2相切，则
2
2
a2
b＋1
的取值范围是______．
2
2
[解析] ∵x＋y＋a＝0与圆(x－b)＋(y－1)＝2相切， |b＋1＋a|∴d＝＝2，∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，
2
5