以解决许多积分问题． 设、是两个可微函数，由 得 ． 两边
积分，可得 即 ． ． 分部积分公式 二、特殊情况 1、用分部积分法计算．不过有时需要多次使用分部积分
法． 例6
求． 解
． 小结： 1．对可微函数、，有分部积分公
式： ． 当容易求出，且比易于积分时．利用分部积分公式易于计算． 2．要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分d的方式． 如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数
函数。 第五部分 定积分的基本性质 定积分性质 性质1 ． 这个性质可推广到有限多个函数
的情形． 性质2 （为常
数）． 性质3 不论三点的相互位置如何，恒
有 ． 这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 牛顿－莱布尼茨公式 定理2 （ 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函数是连续函数在区间 的一个原函数，则 定积分的计算 1．定积分的分部积分法 设函数与均在区间上有连续的导数，由微分法则，可得 ． 等
式两边同时在区间上积分，
有 ． 定积分的分部积分公式， 例5 设在上连续，证明： (1) 若为奇函数，则(2) 若为偶函数，则
小结： 1．定积分换元积分定
理： ； ． ． 注意：换元必换限， 下限对下限，上限对上限 2．定积分分部积分法：设函数与均在区间上有连续的导数，则有 (1) 若为奇函数，则(2) 若 ． 3．对称区间上的积分：设在上连续，则有 ； ． 广义
积分 1．设在积分区间上连续，定
义 ， ． 变上限的积分 如果在区间上连续，
则有 ． 例一 设随机变量的概率密度为
求的分布函数 解 当时, 当时
当时, 当时, 即的分布函数为
例二 设连续型随机变量的分布函数为
求（1）的概率密度；（2）落在区间的概率 解 （1） （2）有
两种解法： 或者,
例三 设某种型号电子元件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度 现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立）,问 （1） 任取1只,其寿命大于1500小时的概率是多少？ （2） 任取4只,4只元件中恰有2
只元件的寿命大于1500的概率是多少？ （3） 任取4只,4只元件中至少
有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？ 解 （1）. （2）各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时. 令表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则～,所求概率为 . (3) 所求概率为 第六部分 偏导数求法 1．偏导数的定义 设函数z = f (x, y)在点P(x , y)的某邻域有定义，函数z在点P(x ,
y)处对变量x 导数和对变量y的偏导数分别定义为 = = 更多元的函数可以类似地定义偏导数． 2．偏导数的计算 对一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了．因此，一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数． 3．高阶偏导数 对函数z = f(x, y)的偏导数再求偏导数就得到高阶偏导数，例如 = ； =； = ；=． 其中、称为混合偏导数．类似地可以定义更高阶的偏导数． 注意：1、更多元的函数可以类似地定义偏导数． 2、计算法：对一个自变量求偏导时，只要把其他自变
量都当常数就行 时，把看作常量，而对求导数； 时，把看作常量，而对求导数。 例1求 在点处的偏导
数。 , 解法1： 则
解法2： ， 则 主要用于第三章的二维随机变量的
分布函数的求导 例一 设(X, Y)的概率密度为
求：关于X 及关于Y的边缘概率密度, 并判断X与Y是否相互独立. 解：关于X的边缘概率密度当时, . 当或时 , 所以 同理 当时,, 所以X与Y不独立 第七部分 二重积分的性质 由于二重积分的定义与定积分的定义是类似的，因而二重积分有与定积分类似的性质，叙述于下（假定所出现的二重积分均存在）： 性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数)． 特别，令 f (x, y)≡1，则有 ． （D 性质2 函数和
（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），
即 ． 性质3 如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则 =＋． 例 1 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在[0, 1]服从均匀分布, Y的概率
密度为 求: (1) (X, Y)的概率密度； (2) ; (3) 解: (1)由已知X与Y相互独立, (X, Y) 例2 设的概率密度为 求的分布函数. 解: 由定义5
知 当x>0, y>0时 当 时, 例3 设X的概率密度为
求 解：
例4 设（X,Y）服从在D上的均匀分布,其中D为x轴, y轴及x+y=1所围
成，求D(X D(X) = 解:
二、 二重积分的计算 按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特
别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的．下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法． 1．X—型区域上二重积分的计算 设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示3），则称D为X—型区
域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为
D： ． 图 在区间[a，b]上任取一点x，
过点x作与x轴垂直的直线，它与D相交于两
点， ，axb． 因此
经过以上两步计算，相当于在区域上累加了一
遍。 ． （1） 由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算．第一次对变量y积分，将x当作常数，积分区间是区域D的下边界的点到对应的上边界的点．第二次对x积分，它的积分限是常数．这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法．公式（1）是先对y后对
x的累次积分公式，通常简记
为 ． 2．Y—型区域上二重积分的计算 设D是平面有界闭区域，若穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点（如图示4），则称D为Y—型区域．由图可知，此时区域D可以用不等式表示为 D： ． 图
4 利用与前面相同的方法，可得先对x后对y的累次积分公式：
通常简记
为 ．
（2） ． （3） 3．一般区域上二重积分的计算 如果区域D不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1)、(3)来计算．这时可以考虑将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域或是X—型区域、或是Y—型区域．在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值． 例1 计算二重积分 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域。 解法1. 将D看作X–型区
域, 则 ，过作直线平行于 边界为，则
为，
解法2. 将D看作Y–型区域, 则 ，过作直线平行于轴，交区域左
边界为 为，
则
，其中D为矩形域D： 例2 0y1． 解 采用先y后x的积分次序，则
1x2 ． 注意： 例2中的二重积分若采用先x后y的积分次序，则 ，函数xe先对x积分时需要用分部积分法来计算，这将使计算工作量 增加（请读者自己完成，作一
比较）．由此可见，计算二重积分要根被积函数选择适当的积分次
序． 例3 ，其中D是由抛物线y = x和直线 x2 成的闭区域． 解 ：易求抛物线y2 = x和直线y = x2的交点为 （1，-1）和 （4，2） 积分区域如图示5所示．D看作Y–型区域, 采用先x后y的积分次序，则将区域D表示为 D：
y2xy+2，－1y2． 故有
图 ． 注意 本例若D看作X–型区域，采用先y后x的积分次序，由于区域D的下边界曲线需要用分段函数表示：当x∈[0，1]时，；当x∈[1，4]时，．，将D划分为D1、
D2两个部分区域(如图6)，其中
D1： ； ． D2： 由此可利用
二重积分的区域可加性计算 此积
分： ． 图6 将D1、D2的表示式代入上式化为两个累次积分后可计算出积分结果．显然，这次序比较麻烦． 例4 设D是由y = x2, y =－x和 x = 1所围成的闭区域，将二重积分I =种次序）． 解 区域D如图示7所示． （1）将D看作Y–型区域, 先x后y: D应表为D = D1∪D2，其中 D1：； D2
故
（两 ．
（2）将D看作X–型区域, 先y后x： D应表为：－
xyx2，0x1．故 ． 图 图7b 例5 ，其中D是由直线y = x, y = 1与y轴围成的闭区域． 解 积分区域D如图示7．我们选取先x后y
的积分次序．将D表示为： D：0xy，0y1． 故有
图 注意：若先对y积分后对x ，由于函数对变量y的原函数不能表 为初等函数，，第一步
的积分将无法计算． 小结： 1．X—型区域：设区域
D： ．则 ．
2．Y—型区域：设区域D：ψ1(y) x ψ2(y), cyd．则有