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2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 sinacos??1?sin??????sin?????? S台侧?1(c??c)l 221其中c′、c分别表示上、下底面周长， cosasin???sin??????sin?????? 2l表示斜高或母线长 1cosacos???cos??????cos??????2台体的体积公式 1?cos??????cos??????2V台体? sinasin???
1(S??S?S?S)h 3一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 若siniθcosθ＞0，则θ在 (A) 第一、二象限
(B) 第一、三象限
(C) 第一、四象限
( )
(D) 第二、四象限
( )
(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是
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(A) (x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 (C) (x－1) 2＋(y－1) 2 = 4
(B) (x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4 (D) (x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4
(3) 设｛an｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
( )
(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是
(A)(0，)
( )
12(B)?0，?
2??1??(C) (
1，＋∞) 2(D) (0，＋∞)
(5) 极坐标方程??2sin(???4)的图形是
( )
(6) 函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是 (A) y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (C) y = arc cos (x－1)(0≤x≤2)
(B) y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (D) y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2)
( )
(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0) F2 (3，0)，则其离心率为 (A)
( )
3 4(B)
2 3(C)
1 2(D)
1 4( )
(8) 若0＜α＜β＜(A) a＜b
?，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则 4(B) a＞b
(C) ab＜1
(D) ab＞2
(9) 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB?
(A) 60°
(B) 90°
2BB1，则AB1 与C1B所成的角的大小为
( )
(C) 105°
(D) 75°
(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：
① 若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增； ② 若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增； ③ 若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；
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④ 若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减． 其中，正确的命题是 (A) ①③
(B) ①④
(C) ②③
(D) ②④
( )
(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) (A) P3＞P2＞P1
(B) P3＞P2 = P1
(C) P3 = P2＞P1
(D) P3 = P2 = P1
(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
(A) 26
(B) 24
(C) 20
(D) 19
( )
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 x2y2??1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P(14)双曲线
916到x轴的距离为 (15)设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若｛Sn｝是等差数列，则
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q = (16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) (本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD?(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． (18) (本小题满分12分) 已知复数z1 = i (1－i) 3． (Ⅰ)求arg z1及z1；
(Ⅱ)当复数z满足z1=1，求z?z1的最大值． (19) (本小题满分12分)
设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
(20) (本小题满分12分)
已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．
i (Ⅰ)证明niPm?miPni；
1． 2(Ⅱ)证明(1＋m) n＞ (1＋n) m． (21) (本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
1．本年度当地旅游业收入估计5为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
1． 4 (Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
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(22) (本小题满分14分)
设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0． (Ⅰ)求f (
1]211) 及f ()； 241)，求lim?lnan?．
n??2n(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； (Ⅲ)记an = f (2n＋
2001年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（13）2π （14）
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16 （15）1 （16）2n (n－1) 5