中小学教育资源站（http://www.edudown.net)，百万免费教育资源当下来，无须注册！
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．
（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；
（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．
（参考数椐：sin49°=
333，cos41°=，tan37°=．） 444
【答案】解：思考：90，2。 探究一：30，2。
探究二（1）当PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是
MP=OM=4，
从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2。
当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与
AB相切， 此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。 （2）如图4，由探究一可知，
点P是弧MP与CD的切线时，α大到最大，即OP⊥CD， 此时延长PO交AB于点H，
α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如图5，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小，
中小学教育资源站http://www.edudown.net
中小学教育资源站（http://www.edudown.net)，百万免费教育资源当下来，无须注册！
连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3。 在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH=∵α=2∠MOH，∴α最小为98°。 ∴α的取值范围为：98°≤α≤120°。
【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角三角形。
【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小，
∵MN=8，∴OP=4，∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2。 探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，
∵MN=8，MO=4，NQ=4，∴最大旋转角∠BMO=30度，点N到CD的距离是 2。
探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，
点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值。
（2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围。
3.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，
MH3。 ?。∴∠MOH=49°
OM4DBDC2??． DPDO3（1）求证：直线PB是⊙O的切线； （2）求cos∠BCA的值． 【答案】（1）证明：连接OB、OP
∵
DBDC2??DPDO3且∠D=∠D，∴
△BDC∽△PDO。
∴∠DBC=∠DPO。∴BC∥OP。 ∴∠BCO=∠POA ，∠CBO=∠BOP。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠CBO。∴∠BOP=∠POA。 又∵OB=OA， OP=OP， ∴△BOP≌△AOP（SAS）。
中小学教育资源站http://www.edudown.net
中小学教育资源站（http://www.edudown.net)，百万免费教育资源当下来，无须注册！
∴∠PBO=∠PAO。又∵PA⊥AC， ∴∠PBO=90°。 ∴ 直线PB是⊙O的切线 。 （2）由（1）知∠BCO=∠POA。 设PB?a，则BD=2a， 又∵PA=PB?a，∴AD=22a。 又∵ BC∥OP ，∴
∴OP?6a
21DC?2。∴DC?CA??22a?2a。∴OA?2a 。 CO22∴cos∠BCA=cos∠POA=3。
3【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。 【分析】（1）连接OB、OP，由DBDC2??，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到DPDO3△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°。
（2）设PB?a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB?a，根据勾股定理得到AD=22a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC?CA?1?22a?2a，则OA?2a，22利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值。 4.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆⊙O1 和⊙O2 相交于A,B两点，⊙O2 经过⊙O1 的圆心O1,两圆的连心线交⊙O1于点M，交AB于点N,连接BM,已知AB=23。 （1） 求证：BM是⊙O2的切线； （2）求 AM ⌒ 的长。
【答案】解（1）证明：连结O2B，
∵MO2是⊙O1的直径，∴∠MBO2=90°。 ∴BM是⊙O2的切线。
(2)∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°。 ∵AB=23，∴BN=3，∴O2B?⌒120π×2=4π。 ∴AM= ⌒BM=
1803
中小学教育资源站http://www.edudown.net
MO1ANO2BBN=2。
sin?O1O2B 中小学教育资源站（http://www.edudown.net)，百万免费教育资源当下来，无须注册！
【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。
【分析】（1）连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出∠MBO2=90°从而得出结论：BM是⊙O2的切线。
（2）根据O1B=O2B=O1O2，则∠O1O2B=60°，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。
5.（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长； （2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由． 【答案】解：（1）∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C， ∴∠BCE=90°， 又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。 ∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴∵BE=15，CE=9，即：CEEF。 ?BEEC9EF27，解得：EF=。 ?1595（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。 同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。 ②∵△CDF∽△BAF，∴又∵△CEF∽△BCF，∴
CFCD。 ?BFBACFCECDCE。∴。 ??BABCBFBC又∵AB=BC，∴CE=CD。
??2BC?时，相应的点D（3）当F在⊙O的下半圆上，且BF3位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD。理由如下：
∵CE=CD，∴BC=3CD=3CE。 在Rt△BCE中，tan∠CBE=
CE1， ?BC3?所对圆心角为60°∴∠CBE=30°，∴CF。
中小学教育资源站http://www.edudown.net
中小学教育资源站（http://www.edudown.net)，百万免费教育资源当下来，无须注册！
??2BC?。 ∴F在⊙O的下半圆上，且BF3【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。 ②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得
CDCE，又由AB=BC，即可证得CD=CE。 ?BABC（3）由CE=CD，可得BC=3CD=3CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE??2BC?。 的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且BF36.（内蒙古乌兰察布10分）如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝900D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;
( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长． 【答案】解：（1）证明：连结OE， ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。 ∵⊙O与边 AC 相切于点E， ∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。
∴∠F=∠OED。
∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。
（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE， ∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。 ∵BD为直径，∴∠BED=90°。 ∵BD=BF，∴DE=EF。
中小学教育资源站http://www.edudown.net
中小学教育资源站（http://www.edudown.net)，百万免费教育资源当下来，无须注册！
在△DEG和△FEC中，
∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC（AAS）。
∴DG=CF。
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴∴
去）。
∴BF=BC+CF=12+4=16。
【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。
【分析】（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。
ADDG。 ?ABBC8CF2，∴CF?20CF?96?0，∴CF?4或CF??24（舍?8?12?CF12中小学教育资源站http://www.edudown.net