电感电流由上文可知为
(VIN?VOUT)DT(V?VOUT)DT电感的峰值电流为Ip?IN，设
LL开关的关断时间为toff则电感电流的变换量为
toff?toffVOUTL，从而可得
(VIN?VOUT)DT (2.5)
L在一个周期内，输出端电感向输出电容传递的电荷为Q，它可以通过对电感电流积分得到，也就是电感电流三角波下的面积。因此，可得负载电流IO为
IO?(V?VOUT)(DT?toff)DQDT?toff?Ip?INT2TL
(2.6)
有公式（2.5）、（2.6）
VOUT?VIN (2.7) 21?2LIO(DTVIN)由式(2.7)可知，所选用的输出电感越小，负载电流越小，开关电源越容易进入不连续工作状态。当
toff?(1?D)T时，可得连续与不连续模式的临界电流
IOCR1?(VIN?VOUT)DT2L
(2.8)
表明，当负载电流小于IOCR1时，开关电源进入不连续工作状态。
3 Buck变换器模型与MATLAB仿真分析
设计一个具有良好动态和静态性能的开关电源时，控制环路的设计是很重要的一个部分，而环路的设计与主电路的拓扑和参数有极大关系。为了进行稳定性分析，有必要建立开关电源完整的小信号数学模型。在频域模型下，波特图提供了一种简单方便的工程分析方法，可用来进行环路增益的计算和稳定性分析。由于开关电源本质上是一个非线性的控制对象，因此，用解析的办法建模只能近似建立其在稳态时的小信号扰动模型，而用该模型来解释大范围的扰动（例如启动过程和负载剧烈变化过程）并不完全准确。好在开关电源一般工作在稳态，实践表明，依据小信号扰动模型设计出的控制电路，能使开关电源的性能满足要求。本文开采用Buck电路，工作在固定频率PWM控制方式以此为基础进行分析。
这众多的方法中，最常用的是状态空间平均法。状态空间平均法是基于电源响应频率比开关频率小得多的实际情况，将功率级的状态方程进行数字处理和简化后得到一个近似的小信号线性电路模型或等效电路。
本文关心的是整个系统的整体性能，而并不需要了解系统在闭环工作时每个具体器件的开关波形，所以本文以Buck变换器为例建立了其状态空间平均模型。由于种种限制，在DC/DC变换器的控制方面只是最近几年才有了较为集中的研究，且由于DC/DC变换器的精确模型较难建立，传统的控制方法较难得到好的控制特性。随着微电子技术，现代控制理论以及EDA技术等领域的飞速发展，越来越多的先进控制方法被用来控制DC/DC变换器，大大的改善了其性能，增强了鲁棒性。对这些先进控制方法的仿真具有重要的现实意义。
3.1 Buck变换器小信号模型建立及分析
LUD Cf
图3.1
BUCK电路
由于Buck电路具有简单、直观、易于控制和分析的特点，以下首先以Buck变换器为控制对象进行控制系统仿真分析。BUCK变换器有两种工作状态：开关管导通模式(图3.2（a）所示)和开关管关断模式(图3.2(b)所示)。为简单起假定开关是理想的，同时认为状态变换是瞬间完成的，且工作于电流连续的状态。若设占空比为D，则通过图3.2（a）（b）所示两种工作状态：
UinUc
(a) 开通 (b) 关断
图3.2
开关Q开通和关断时的两等效电路
在Q导通时，工作状态如图3.1(a)所示图中iin是输入电流，以电容电压uc，电感电流iLf为状态变量列写状态空间平均方程：
?diLf??dt?d?uc?d?t????0?????1????Cf?????i??Lf?1???uc?RLCf??1Lf?1???L???f??0????Uin??
(3.1)
?Uo??0?????is??11??iLf??0???uc????
(3.2)
Q关断时，工作状态如图3.2(b)所示。状态空间平均方程为：
?diLf??dt?d?uc?d?t????0?????1????Cf???1?Lf??iLf???1???uc?RLCf??????
(3.3)
?Uo??0?????is??01??iLf??0???uc????
(3.4)
?i令：X??Lf?u?c??0A2???1??C?f??Uo??0? ， ，Y????A1???i?s??1???? ?1??RLCf??1Lf??C?f?1，B??Lf1??0??? ???
?1?Lf? ??1??RLCf???01??0??01?TC?，B2??? ，C1T?? ，2?? ?00???0??10?然后对两种状态进行平均得：
??1?0??Lf?A?AD?AD???12??1?1???CRLCff????D??????B?B1D?B2D???Lf???0?????1??0TT?CT?C1D?C2D????0???D???X?AX?Buin?Y?CTX??????????
(3.5)
?＝0，因此有： 在稳态时X?1??X??ABuin (3.6) ?T?1??Y??CABuin式(3-6)是稳态方程。对式(3-5)进行小信号扰动，同时忽略二阶信号，再进行拉式变换，整理得：
???sX??Bu?in????A1?A2?X??B1?B2?uin??d(s)?(s)?Ax?TT???CTx?Y?C?CXd???(s)12(s)?(3.7)
将式(3-7)展开得：
?cuuin?D???si???u?din?LfLfLfLf???Li?cuf?su????cCRLCff??u?o?u?c?????i?s?DiLf?ILfd
（3.8）
由式(3-8)可得输出电压对输入电压，输出电压对占空比的传递函数分别为：
Gio??o(s)u?i(s)u???0d(s)DLfCfs2?sLfRL?1
(3.9)
?o(s)uGdv??d(s)??i(s)?0uUiLfCfs2?sLfRL?1
(3.10)
3.2 控制系统的参数设计
3.2.1 控制系统的传递函数
根据上一节建立的系统稳态方程以及小信号模型表达式，写出了系统的传递函数，Buck变换器原理图如图3.3所示
图3.3
Buck变换器原理图
下面结合具体的电路参数加以分析，根据具体的设计指标Buck电路参数为
Vin?20V，VO?12V，L?150uH，C?1000uF，R?10?。推导出
G(s)?133333333
s2?100s?66666673.2.2 利用MATLAB对系统进行仿真
据此，利用MATLAB对系统进行仿真，得到系统开环幅频特性如图3.4所示。这一波特图是非常典型的波特图，所有源于Buck变换器的DC/DC变换器，如正激、推挽、半桥、全桥等变换器都具有相似的波特图。低频段，相移最小，具有一定的低频增益，由于LC滤波器引入的双极点，增益以-40db/十倍频的斜率变化