（1）若a1?1,bn?n，求数列{an}的通项公式；
，且b1?1,b2?2（2）若bn?1bn?1① 记cn?bn?n?2?．
?a6n?1?n?1??an???n?，求证：数列?cn?为等差数列；
② 若数列?
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．
浦东新区2013年高三综合练习
数学试卷（理科）参考答案及评分细则
一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．[0,1]； 2．
13； 3．4； 4．?12?18i； 5．60； 6．
630?3； 7．25； 8．8；
9．??2sin?； 10．6或7； 11．
a； 12．0 ； 13．9； 14．①、②
二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．B； 16．C； 17．C； 18．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分） 解：（1）由题意， 而m?0f(x)的最大值为?2m2?2，所以π4)m?2=22．………………………2分
，于是m?4，f(x)?2sin(x?．…………………………………4分
f(x)在[0,]上递增．
在
?π??4，π???递减，
所以函数
（2）化简
sinA?f(x)π4在?0，π?上的值域为[?2,2]；…………………………………5分
π4)?46sinAsinBf(A?)?f(B?得
分
siBn?26AsinBin．s……………………………………………………7
由正弦定理，得2R?a?b??26ab，……………………………………………9分
2ab因为△ABC的外接圆半径为R?3．a?b?．…………………………11分
所以
1a?1b?2…………………………………………………………………12分
20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）设点P(x,y)是函数f(x)图像上任意一点，P关于点A对称的点为P?(x?,y?)，则
x?x?2?1，
y?y?2|?x|?2，于是x??2?x，y??4?y，………………2分
|x??2|因为P?(x?,y?)在函数g(x)的图像上，所以y??4?a即4?y?4?a所以f(x)?a（2）令ax?2?ax??2，…4分
?2?a?x?x，y?a|x|?2?a?x，
|x|?2?a．……………………………………………………6分
2t?t，因为a?1，x?0，所以t?1，
所以方程f(x)?m可化为t?2?m，…………………………………………8分
即关于t的方程t?mt?2?0有大于1的相异两实数解．
?h(1)?0??m?mt?2，则?，………………………………………12分 ?12?2??m?8?0作h(t)?t2解得22?m?3；所以m的取值范围是(22,3)．………………………14分
21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）由题意，得M(s,t)在线段CD：x?2y?20(0?x ?20)上，即s?2t?20， 又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以5?s?10；.…………………………………………………………………2分. z?s?t?s(10?12s)??12(s?10)?50,5?s?10；………………………4分
2所以z的取值范围是 （2）由题意，得K(s,所以S?MGK?则S?MGK?1212200s752?z?50..………………………………………………6分 200t,t)，..…………………………………………8分
),G(?MG?MK?1200200140000(?s)(?t)?(st??400) 2ts2st(z?40000z12?400),z??75?,50，..……………………………10分 ?2????75?,50单调递减，..………12分 ?2???因为函数S?MGK?(z?40000z?400)在z?所以当z?50时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分
22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）
3?3??12?a24b22?xy?22222??1.·解：（1）由已知?a?b?c，解得a?4,b?3 ,方程为······················4分 43?c1??2??a（2）当x0y0?0时，显然tan?MON?0，由椭圆对称性，只研究x0?0,y0?0即可，
设kOM?y0x0?k（k?0），于是kON?2k3···························································5分
2ktan?MON?31??k2k2?2?3k3?2k?2?3??
223332（当且仅当k?2时取等号）··············································································8分
（3） 设A(x1,y1),B(x2,y2),则P??x1?2,y1??x2y2?,Q,???;
23?3?? 1)当直线l的斜率存在时,设方程为y?kx?m,
?y?kx?m?222由?x2y2 得: (3?4k)x?8kmx?4(m?3)?0；
??1?3?4????48(3?4k2?m2)?0??8km?有?x1?x2? ①···································································10分 23?4k?2?4(m?3)?x1x2?23?4k?由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得: 3x1x2?4y1y2?0； 整理得: (3?4k)x1x2?4mk(x1?x2)?4m?0 ②
将①式代入②式得: 3?4k?2m, ································································· 12分
?3?4k22222?0,?m2?0,??48m2?0
又点O到直线y?kx?m的距离d?m1?k2
222AB?1?k2x1?x2?1?k2433?4k3?4k?m?1?k243?m3?4k2?1?k243?m2m122
3·············································································14分
所以S?OAB?ABd?2) 当直线l的斜率不存在时,设方程为x?m(?2?m?2)
3(4?m)42联立椭圆方程得: y?2；
代入3x1x2?4y1y2?0得3m?255215523(4?m)4122?0；
m??y??,
S?OAB?ABd?12my1?y2?3
综上: ?OAB的面积是定值3
又?ODE的面积也为3,所以二者相等. ·························································16分
23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 解：（1）当n?2时，有
n2an?a1??a2?a1???a3?a2?????an?an?1??a1?b1?b2???bn?1?2?n2?1．
又a1?1也满足上式，所以数列?an??的通项公式是anbn?5bn?4?1bn?3?bn?1bn?2?n22?n2?1．…………4分
（2）①因为对任意的n?N*，有bn?6?bn，所以，
12?12?7cn?1?cn?a6n?5?a6n?1?b6n?1?b6n?b6n?1?b6n?2?b6n?3?b6n?4?1?2?2?1?，
所以，数列?cn?为等差数列．……………………………………………………8分 ②设cn?a6n?i?n?N*?（其中i为常数且i??1,2,3,4,5,6?，
，
所以，cn?1?cn?a6n?6?i?a6n?i?b6n?i?b6n?i?1?b6n?i?2?b6n?i?3?b6n?i?4?b6n?i?5?7即数列?a6n?i?均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分
7设
fk?a6k?i6k?i?ai?7ki?6k?6?i?6k??ai?i?6k76i?76ai??76ii?6k．
（其中n当ai?76?6k?i,k?0,i为?1,2,3,4,5,6?中一个常数）
?6k?i76i时，对任意的n，有
i?ann?7676i；……………………………… 12分
当ai?76i时，
?7676iai?fk?1?fk?ai?6?k?1??i7???ai?6k?i6??6?i????6?k?1??i???6k?i?．
（Ⅰ）若ai（Ⅱ）若ai，则对任意的k?，则对任意的k?N有有
fk?1?fkfk?1?fk，所以数列?，所以数列??a6k?i???6k?i??a6k?i???6k?i?为递减数列； 为递增数列．
．
?iN综上所述，集合B当a1?当a1?B11??7??4??1??1??1??1??741??????????????????????,,,?,??36??6??3??2??3??6??2??632?an???n?时，数列?中必有某数重复出现无数次；
均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最
B时，数列??a6k?i???i?1,2,3,4,5,6??6k?i??an????n?多出现一次，所以数列任意一项的值均未在该数列中重复出现无数
次．………………………………………………………………………………… 18分