浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测
数学试卷（理科）
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．不等式3?2的解为 x?log2 . 3 2．设i是虚数单位，复数(a?3i)(1?i)是实数，则实数a? 3 . 3．已知一个关于x,y的二元一次方程组的增广矩阵为?x?1?12??，则x?y? 2 .
012??4．已知数列?an?的前n项和Sn?n2?n，则该数列的通项公式an? 2n . 1??25．已知?x2??展开式中二项式系数之和为1024，则含x项的系数为 210 . x??6．已知直线3x?4y?2?0与圆?x?1??y2?r2相切，则该圆的半径大小为 1 . 2n7．在极坐标系中，已知圆??2rsin?（r?0）上的任意一点M(?,?)与点N(2,?)之间的最小距离为1，则r?
3 . 228．若对任意x?R，不等式sin2x?2sinx?m?0恒成立，则m的取值范围是(1?2,??).
9．已知球的表面积为64?cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，则截面与球心的距离是 23 cm.
10．已知随机变量?分别取1、2和3，其中概率p(??1)与p(??3)相等，且方差D??则概率p(??2)的值为
21，32 . 323 11．若函数f(x)?x?x?4的零点m??a,a?1?,a为整数.则所有满足条件a的值为1或2?2.
12．若正项数列?an?是以q为公比的等比数列，已知该数列的每一项ak的值都大于从ak?2开
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始的各项和，则公比q的取值范围是 (0,5?1) . 213．等比数列?an?的首项a1，公比q是关于x的方程(t?1)x2?2x?(2t?1)?0的实数解，若数列?an?有且只有一个，则实数t的取值集合为?0,,1,?.
14．给定函数f(x)和g(x)，若存在实常数k,b，使得函数f(x)和g(x)对其公共定义域D上的任何实数x分别满足f(x)?kx?b和g(x)?kx?b，则称直线l:y?kx?b为函数f(x)和
?1?23?2?g(x)的“隔离直线”. 给出下列四组函数；
错误！未找到引用源。 f(x)?1?1,g(x)?sinx； 错误！未找到引用源。 x21f(x)?x3,g(x)??；
x错误！未找到引用源。 f(x)?x?1,g(x)?lgx； x错误！未找到引用源。
1f(x)?2x?,g(x)?x
2其中函数f(x)和g(x)存在“隔离直线”的序号是 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分. 15．已知a,b都是实数,那么“0?a?b”是“
11?”的 （ A ） ab (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件
(C) 充分必要条件
16．平面?上存在不同的三点到平面?的距离相等且不为零，则平面?与平面?的位置关系为 （ D ）
(A) 平行 (B) 相交 (C) 平行或重合 (D) 平行或相交
17．若直线ax?by?3?0与圆x?y?3没有公共点，设点P的坐标(a,b)，则过点P的一
22x2y2??1的公共点的个数为 ( C ) 条直线与椭圆43
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(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1或2
18．如图，若正方体PP12P3P4?QQ12Q3Q4的棱长为1， 设x?P（i,j?{1,2,3,4}）， Si,Tj?{P1Q1?SiTj，i,Qj}，对于下列命题：
P1
P4 P2
P3
x?1； 错误！未找到引用源。当SiTj?PQii时，
②当x?0时，?i,j?有12种不同取值； ③当x??1时，?i,j?有16种不同的取值； ④x的值仅为?1,0,1.
Q1
Q4 Q2
Q3
其中正确的命题是 （ C ）
(A) ①②
(B) ①④ (C) ①③④ (D) ①②③④
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤．
19．（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
a,(x?0),a为实数. x （1）当a??1时，判断函数y?f(x)在?1,???上的单调性，并加以证明； （2）根据实数a的不同取值，讨论函数y?f(x)的最小值.
1解：（1）由条件：f(x)?x?在?1,???上单调递增.??????????2分
x任取x1,x2??1,???且x1?x2
已知函数f(x)?x?111?x2??(x1?x2)(1?) ????????4分 x1x2x1x21?0 x2?x1?1，?x1?x2?0,1?x1x2? f(x1)?f(x2) ? 结论成立 ????????????????6分 （2）当a?0时，y?f(x)的最小值不存在； ?????????????7分
当a?0时，y?f(x)的最小值为0；???????????????9分
a当a?0时，y?f(x)?x??2a，当且仅当
xP x?a时， y?f(x)的最小值为f(x1)?f(x2)?x1?2a；??????????????????12分 20．（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第 - 3 - A B C D
（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2， PA?底面ABCD, E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan2． 2 （1） 求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B到平面PCD的距离．
解：方法１,（1）因为底面ABCD为边长为2的正方形，PA?底面ABCD, 则
CD?ADCD?PAAD?PA?????CD?平面PAD， A??所以?CPD就是CP与平面PAD所成的角．?????????????????2分 在Rt?CDP中，由tan?CPD?CD2，得PD?22，??????????3分 ?PD2在Rt?PAD中，PA?2．分别取AD、PA的中点M、N，联结MC、NC、MN， 则?NMC异面直线AE与PD所成角或补角．?????4分 在?MNC中，MN?2，MC?5，NC?3，由余弦定
22P 2???5??理得，cos?NMC??3222?5??10， 10N 所以?NMC???arccos10，??????????6分 1010．??7分 10A B E
M D C
即异面直线AE与PD所成角的大小为arccos（2）设点B到平面PCD的距离为h，因为VB?PCD?VP?BCD，??????????9分 所以，?1111CD?PD?h??BC?CD?PA，得h?2．???????????14分 3232方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得PA?2，?????3分 则有关点的坐标分别为A?0,0,0?，E?2,1,0?，D?0,2,0?，P?0,0,2?．?????????5分 所以AE??2,1,0?，PD??0,2,?2?．设?为异面直线AE与PD所成角， 则cos?? z P 2?0?1?2?0???2?5?8?10， 10- 4 - A B x E C D y
所以，??arccos10， 10即异面直线AE与PD所成角的大小为arccos10．?????????????7分 10（2）因为PD??0,2,?2?，CD??2,0,0?，BC??0,2,0?，设n??u,v,w?，
??n?PD?2v?2w?0?u?0则由?，??????????????????11分 ????v?w?n?CD?2u?0可得n??0,1,1?，所以d?n?BCn?2?2．??????????????14分 221．（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
A?C一颗人造地球卫星在地球表面上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球旋转一周.将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A?，12:03时卫星通过C点.（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）
AO（1）求人造卫星在12:03时与卫星跟踪站A之间的距离（精确到1千米）； （2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）. 解：（1）设人造卫星在12:03时位于C点处，?AOC??，??360??2223?9?，?2分 120 在?ACO中，AC=6370+8000-2?6370?8000?cos9??3911704.327, AC?1977.803（千米），?????????????????5分 即在下午12:03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978千米.???????6分 （2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为?，则?CAO???90?，
sin?9?1978s?in?(?90)8000sin9??0.6327，???????9分 ，sin(??90?)?80001978 即cos??0.6327，??50?45'，????????????????????11分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为50?45'.????????????12分
22．（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
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