已知直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点，与x轴、y轴分别交于D、E两点，且满足
EA??1AD、EB??2BD.
（1）已知直线l的方程为y?2x?4，抛物线C的方程为y2?4x，求?1??2的值；
x211?y2?1，求?（2）已知直线l：x?my?1（m?1），椭圆C：的取值范围； 2?1?2x2y22a2（3）已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)，?1??2?2，试问D是否为定点？
abb若是，求出D点坐标；若不是，说明理由. 解：（1）将y?2x?4，代入y2?4x，求得点A?1,?2?，B?4,4?，又因为
D?2,0?，E?0,?4?，????????????????????????????2分
由EA??1AD 得到，?1,2???1?1,2????1,2?1?，?1?1，
同理由EB??2BD得，?2??2所以?1??2=?1.???????????????4分 （2）联立方程组：?x?my?122 得m?2y?2my?1?0， 22?x?2y?2?02m11??y1?y2??2,y1y2??2，又点D?1,0?,E?0,??，
m?2m?2m??????111????1y1，?1???1??my??， m1???111????2y2，?2???同理由EB??2BD 得到y2?1??my??， m2??由EA??1AD 得到y1??1(y1?y2)?1????1??2=??2???2??2m????4，即?1??2??4，?????6分 ??my1y2?m???1?1?1?2??4?1?2?4?1?4?11?12?4??1?2?2?4, ????????????????8分
因为m?1，所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知
?1?2?2,0，所以
???1?2????,?2?.????????????????10分
（3）假设在x轴上存在定点D(t,0)，则直线l的方程为x?my?t，代入方程
x2y222222222??1得到:bm?ay?2bmty?t?ab?0 22ab2b2mtt2?a2b2112mty1?y2??22,yy??, (1) ???12y1y2bm?a2b2m2?a2t2?a2??????而由EA??1AD、EB??2BD得到：?(?1??2)?2?t?11??? (2) ??m?y1y2??2a2?1??2?2 (3) ??????????????????????????12分
b
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t?2mt?2a222由（1）（2）（3）得到：2???2，， ??t??a?b?22m?t?a?b所以点D(?a2?b2,0)，????????????????????????14分 当直线l与x轴重合时，?1??aaaa，?2?，或者?1?，?2??， t?at?at?at?a2a22a2?2 都有?1??2?22t?ab也满足要求，所以在x轴上存在定点D(?a2?b2,0).???????????16分
23．（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.
记无穷数列?an?的前n项a1,a2,最小项为Bn，令bn?An?Bn．
（1）若数列?an?的通项公式为an?2n2?7n?6， 写出b1、b2，并求数列?bn?的通项公式； （2）若数列?bn?的通项公式为bn?1?2n，判断?an?1?an?是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；
（3）若?bn?为公差大于零的等差数列，求证：?an?1?an?是等差数列. 解：（1）因为数列?an?从第2项起单调递增，a1?1,a2?0,a3?3，
?????????2分
所以b1?a1?a2?1?0?1；b2?a1?a3?1?3??2； 当n?3时，bn?an?an?1?5?4n
,an的最大项为An，第n项之后的各项an?1,an?2,的
??n?2???2,????????????????????4分bn??
5?4n,n?1或n?3????（2）数列?bn?的通项公式为bn?1?2n，?bn递减且bn?0.
????????????????????6分
由定义知，An?an,Bn?an?1
0?bn?An?Bn?an?an?1
?an?1?an，数列?an?递增，即a1?a2???bn?1?bn??(bn?1?bn)??????1?2n???1?2n????2
（3）①先证数列?an?递增，利用反证法证明如下：
假设ak是?an?中第一个使an?an?1的项，
?an?an?1?
??????8分
(an?2?an?1)?(an?1?an)??(an?1?an?2)?(an?an?1)???????????????????10分
a1?a2??ak?2?ak?1?ak，????????????????????12分
Ak?Ak?1?ak?1,Bk?1?Bk
bk?bk?1?(Ak?Bk)?(Ak?1?Bk?1)
??Ak?Ak?1???Bk?1?Bk??Bk?1?Bk?0
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与数列?bn?是公差大于0的等差数列矛盾. 故数列?an?递增.
??????????????????????????14分
② 已证数列?an?递增，即a1?a2?，则
?an?，
An?an；Bn?an?1，????????????????????????16分
设若?bn?的公差为b(an?2?an?1)?(an?1?an)??(an?1?an?2)?(an?an?1)??(An?1?Bn?1)?(An?Bn)??bn?1?bn??(bn?1?bn)??b
?????????????????????18分
故?an?1?an?是等差数列.
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