南昌三中2016-2017学年度下学期期中考试
高二数学（理）试卷
一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A.三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形
111
2．设f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
3n－1
11111111A. B.3n＋ C.＋ D.3n＋＋ 3n＋23n＋13n＋13n＋23n＋13n＋2
?3．已知点M的极坐标为?5，?，下列所给出的四个坐标中,也能表示点M的极坐标的是( )
???3??? B.?4?? C.?2?? D.?A.?5，?5，5，????3????3????3?5?? 5，???3??4．?和?是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面?和?平行的是（ ）。
A. ?和?都垂直于同一个平面 B. ?内不共线的三点到?的距离相等 C. l,m是?平面内的直线且l//?,m//? D. l,m是两条异面直线且l//?,m//?,m//?,l//? 5．
1?01?xdx的值是（ ）
2A．
?8
t?tB．
?4 C．
?2 D．?
??x?2?26．方程?表示的曲线是（ ） （t为参数）t?t??y?2?2A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若?取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（ ） A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 8．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）
A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对
22229．已知双曲线
xa?yb?1(a?0,b?0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x?y?0垂直，则
双曲线的方程为（ ）
页
1第
A．
x24?y?12B．x?
2y24?1C．
3x220?3y52?1 D．
3x52?3y220?1
10．某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的4×100m接力比赛，其中甲、乙两名运
动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（ ） A．24种 B．72种 C．144种 D．360种 11．如右上图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF?下列结论中错误的是（ ） A．AC?BE
B．EF//平面ABCD
C．三棱锥A?BEF的体积为定值 D．异面直线AE,BF所成的角为定值
xeex22，则12.已知函数f(x)?，g(x)?xlnx?x?1，正实数m,n满足mf(x1)?ng(x2)?1对任意的x1,x2?[1,e]恒成立，则m?n的最大值是( ) A．A.?1
e1B.e?1 C.2e?1 D.?2
e1二.填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分)
13． n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．
14．动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 . 15． 4个平面最多可将空间分割成 个部分。 16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为
x24?y225，其体积等于______． ?1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2）
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17.（本小题满分10分）4个男生,3个女生站成一排. （1）3个女生必须排在一起,有多少种不同的排法?
（2）甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法?
（3）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法? （必须写出解析式再算出结果才能给分）
页 2第
18．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，
ì??x=tcosα,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是í（t为参数），?y=tsinα,??l与C交于A，B两点，
AB=10,求l的斜率.
19. （本小题12分）如图，ABC?A1B1C1是底面边长为2，高为面与上底面相交于PQ， 设C1P??C1A（0??1（2）当??1232的正三棱柱，经过ABQPC1的截
B1A1.（1）证明：PQ//A1B1； ?1）时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投影F（说明作法及
理由），并求四棱锥CABPQ表面积
B AC20.(本小题满分12分)《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍ABCDFE中，已知平面ADFE?平面ABCD，EF??AD，且四边形ADFE为等腰梯形，AE?5，EFAB?2，求平面BDE?3，AD?5. (Ⅰ)试判断四面体A?BDE是否为鳖臑，并说明理由；(Ⅱ)若
与平面CDF所成的锐二面角的余弦值.
E F
D
A C B 21.(本小题满分12分）达?芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆AP构成，AP上的栓子A可沿滑槽上下往复滑动，栓子B可沿滑槽左右往复滑动，P处的笔尖随A、B的滑动画出的图形即为椭圆C.已知AP?2，AB?1，以十字形滑槽的交点为原点O，建立平面直角坐标系.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知过椭圆C的右焦点的直线l1交椭圆C于M、N两点，过原点的直线l2 交椭圆C于P、Q两点，且l1
22．（本小题满分12分）已知函数f(x)?xlnx?x，g(x)?a22?l2，试问
1MN?1OP?OQ是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.
y O x x?ax(a?R) . （Ⅰ）若f(x)和g(x)在(0,??)有相同的单调区间，求a的取值范围；
页
3第
（Ⅱ）令h(x)?f(x)?g(x)?ax（a?R），若h(x)在定义域内有两个不同的极值点． （i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1?x2?e2．
南昌三中2016-2017学年度下学期期中考试
高二数学（理）答案
一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、下列图形中不一定是平面图形的是（B ）
A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形
111
2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( D )
233n－1
11111111
A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 3n3n＋13n3n＋13n＋23n＋23n＋13n＋2
???，?，下列所给出的四个坐标中,也能表示点M的极坐标的是( ) 3．已知点M的极坐标为?5?3???2??5????4????，?? B.?5，? C.?5，?，?A.?5? D.?5?
3?3?3?3?????【答案】D
4．?和?是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面?和?平行的是（ D ）。 A. ?和?都垂直于同一平面 B. ?内不共线的三点到?的距离相等 C. l,m是?平面内的直线且l//?,m//? 、 D. l,m是两条异面直线且l//?,m//?,m//?,l//? 5．
1?01?xdx的值是（ B ）
2A．
?8
t?tB．
?4 C．
?2 D．?
??x?2?26．方程?表示的曲线是（ ） （t为参数）t?t??y?2?2A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
【答案】B. 【解析】两个等式两边分别平方，再相减，得x2?y2??2t?2?t???2t?2?t???4，即有y?x?4，
2222又2?0，可见与以上参数方程等价的普通方程为y?x?（.显然4y?2）2?2?22?2?2，即y?2，
它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.
7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若?取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（ ） A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
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4第
tt?tt?t22解：B.
8．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ） A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对
解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成则共有36对异面直线。故选D。
xa22（个）三棱锥，
9．已知双曲线
?yb22?1(a?0,b?0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x?y?0垂直，则双
曲线的方程为（ ） A．
x24?y?12B．x?
2y24?1C．
3x220?3y52?1 D．
3x52?3y220?1
【答案】A
10．某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的4×100m接力比赛，其中甲、乙两名运 动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有 A．24种 B．72种 C．144种 D．360种 11．如右上图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF?22，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC?BE B．EF//平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值 D．异面直线AE,BF所成的角为定值 12.已知函数f(x)?xeex，正实数m,n满足mf(x1)?ng(x2)?1对任意的x1,x2?[1,e]恒g(x)?xlnx?x?1，
成立，则m?n的最大值是(D) B．A.?1
e1B.e?1 C.2e?1 D.?2
e1解: f?(x)?xe?1(e?x)ex，g?(x)?lnx当x?[1,e]时，f?(x)?0，g?(x)?0，?f(x),g(x)在[1,e]上单调
递增，?f(x)?[,1]，g(x)?[0,1]
e1?mf(x)max?ng(x)min?1mf(x1)?ng(x2)?1?ng(x2)?1?mf(x1)?ng(x2)?1，依题意得?，即
?mf(x)min?ng(x)max?1?m?1?m?1?111，???m?m?n?(en?m)?(1?)m?2?，故选D.
?n?1?en?m?eeee??e页 5第
二.填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分)
13． n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．
答案 2k＋1
14．动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 x2=8y . 15． 4个平面最多可将平面分割成 15 个部分。 16．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后
在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为x2y2，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图
4?25?12），其体积等于______．
解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣
）=
故答案为：
．
．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.（本小题满分12分）4个男生,3个女生站成一排. （1）3个女生必须排在一起,有多少种不同的排法?
（2）甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法?
（3）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法? （必须写出解析式再算出结果才能给分）
17.解：⑴ 先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有，A3A5?720(种)；
（2）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有，A2A5A3?720(种)；（3） 先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，分步有，A2A4A5?960(种).
2423523318．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y=25.
2（Ⅰ）以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C为参数），l与C交于A，B两点，
AB=10ì?x=tcosα,í（t的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是??y=tsinα,??,求l的斜率.
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