一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型
模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化，压缩，提炼而构成的原型替代物。如地图，苯分子图。
2．数学模型
由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型，如概率论的功利化定义
3．抽象模型
抽象模型也称为物理模型，主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律，如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特征。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等
2．数学建模的基本步骤
1、建模的准备：确立建模课题的过程；
2、根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
3、构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择适当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型；
4、模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；
5、模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。
6、模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；
7、模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学建模在生产和科研中的特殊作用。
3．数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人民采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等
众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的工具，而且对于人呢的素质培养，无论是在自然科学，还是在社会科学科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高准度、高速度、高安全、高质量、高速率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分） C 题 (9n+2, 9n+4)
某人从南郊前往北郊火车站乘火车,有两条路可走. 第一条路穿过市中心,路
程较短,但交通拥挤,所需时间(以分钟计) 服从正态分布N(35,80)；第二条路沿环城公路走,路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(40,20). 试问(1)假如有50分钟时间可用,应走哪条路？(2)若只有40分钟时间可用,又应该走哪条路线？
1.设X表示“该人沿第一条路线从南郊到北郊火车站所需要的时间”，Y表示“该人沿第二条路线从南郊到北郊火车站需要的时间”，依题意X～N（35，80），Y～N（４０，２０）。 （1）若有50分钟可用，由于：
p?X?50???(50?3580)??(1.68)?0.95352
p?Y?50???(50?4020)??(2.24)?0.98745
于是，这个人从南郊到北郊沿第二条路走，在50分钟内到达的概率比沿第一条路的概率大，所以要选第二条路走。
（2）若有40分钟可用，由于
8040?40??pY?40??()??(0)?0.5
20
四、综合题（21分）
p?X?40???(40?35)??(0.56)?0.71226
所以该人沿第一条路走，在40分钟内到达的概率比沿第二条路的概率大，所以选择第一条路。
M. 飞机降落曲线(7n+3, 7n+5, 7n+6)
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在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为h，飞机着陆点O为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u. 出于安全考虑，
g飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过，此处g10图1
是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离s处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s所能允许的最小值.
1.解
2.论文题目：关于飞机降落曲线的数学模型论文 3.论文摘要：
飞机为了实现安全降落,必须在开始降落和着陆是保持水平飞行姿态,还必须在下降过程中保持较小的铅直加速度(否则乘客将感到不适).本实验利用微分学的求导公式,依赖Mathematica的计算和作图功能,确定出满足上述要求的飞机安全降落曲线.希望通过本实验,使读者进一步理解导数的物理意义,提高应用微分学知识解决问题的能力.
4.关键词：高度、水平速度、垂直加速度 5.论文正文： 问题提出：
在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式。飞行的高度为h，飞机着陆点O为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过
g，此处g是重力加速度。问： 10若飞机从距降落点水平距离s处开始降落，试确定出飞机的降落曲线及求开始下降点s所能允许的最小值.
模型假设：
飞机开始降落时，距离落点的水平距离为1（km），机高为h'（m）（机场的地面高度取作0）.飞机开始降落和着陆时，都保持水平飞行姿态。
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模型设计： h g u s 模型的解法与结果： 设所求飞机的降落曲线为：
飞机的飞行高度 重力加速度 飞机的水平速度 飞机距降落点的水平距离 y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，
?y(0)?0,y(s)?h,?''y(0)?0,y(s)?0,由已知条件：?
?y'(0)?0,y''(s)?0.?10h15h6h,a4??4,a5?5. 于是求得：a0?a1?a2?0;a3?3sss10h?15h46h5x?5x 从而所求的曲线方程为：y?3?4sss又
d2y?60hx180hx2120hx3?2??3???u 245dtss?s?22??dy?10hu max?2??23s??dt?于是由已知条件：
10hu23s2?g100h,即s?u?10103g3hu.。 3g模型结果的分析和检验：
由上述设计可知，飞机降落时，最大铅直加速度远小于允许值，所以降落是安全的，由上述图可知，虽然开始降落时的铅直加速度很大，最后着陆的加速度也很大，但在飞机整个降落过程中飞机不可能一直保持最大铅直加速度来进行降落。代入具体数据进行验证，在Mathematica运行环境下输入。
模型的优缺点及改进方向：
由上述设计可知，飞机降落时，最大铅直加速度远小于允许值，所以降落是
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安全的，由上述图可知，虽然开始降落时的铅直加速度很大，最后着陆的加速度也很大，但在飞机整个降落过程中飞机不可能一直保持最大铅直加速度来进行降落，因此在实际生活中，我们应该具体问题具体分析，全面考虑，解决，从而更好的利用所学的理论知识来解决一些实际问题。
5.参考文献：
华东师范大学数学系《数学分析》第三版 高等教育出版社 2001年6月 于大正 《Mathematica 5在大学数学课程中的应用》 电子工业出版社 2006年6月
五、复述题（21分） R. 椅子放稳模型(3n+2)
椅子放稳问题
摘要：1.解释只需将椅子挪动就可使椅子放稳这一现象。
2.如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的挪动能否放稳。
3．椅子的四个脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳。 关键词：椅子，不平地面，放稳，数学模型
问题提出：在日常生活中,经常会碰到这样的情况:把一张四条腿的椅子往不平的地上一放,有时只有三只椅脚着地,未放稳,但只需稍作挪动,就可以使四只脚同时着地,放稳了。该如何证实这种现象？
问题分析：建立椅子四脚连线为正方形的模型。
模型假设：为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会 出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；
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