?R2[sin?2?sin?3?sin(?3??2)]*[?(???1)??(?)]?R2[sin?3?sin?1?sin(?1??3)]*[?(???2)??(?)] R2[sin?1?sin?2?sin(?2??1)]*[?(???3)??(?)]Rcos(???1)?Rcos?Rcos(???1)?Rcos??(???1)??(?)???2)?Rcos?Rcos(???2)?Rcos??(???2)??(?) F (θ ) =Rcos(Rcos(???3)?Rcos?Rcos(???3)?Rcos??(???3)??(?)又因为 ?(θ ) 是以2π的连续函数，从而对任意的常数a都有
?2?0?(??a)d???2??aa?(x)dx???(x)dx???(?)d?
002?2????2?02?[?(???1)??(?)]d??0[?(???2)??(?)]d??0 ?F(?)d??002?02?
0[?(???3)??(?)]d??0再由积分中值定理知，存在一个θ0∈ [0 , 2π]使得
12?F(?0)?F(?)d??0
2??0??????即就是[A''B''A''C''A''D'']?0
也就是当θ =?0时， A′′, B ′′, C ′′, D′′ 四点共面
定理1说明，对四脚共圆的椅子，在不平的地面上，总可以经适当的旋转把椅子放稳。
放稳椅子的充要条件
前面我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型。那么四脚不共圆的椅子是否也能在一般不平面的地面上放稳呢？回答是否定的，其反例如下：例：设椅子的四脚不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上总放不稳。证：反证法
假设在这样的地面上存在四点A、B、C、D使椅子的四脚在这四点同时着地，则四点必共面，即在同一平面上。从而，这四点必在此平面与球面的交线上，也就是着四点必共圆。这与椅子四脚不共圆矛盾。这矛盾说明假设错而例中结论真。 此例说明：当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不能在球面型的地面上放稳。而由前面的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经过适当的旋转把椅子放
第 11 页 共 12 页
稳。这样我们就 证明了下面结论：
定理2: 在不平的地面上把椅子放稳的充要条件是椅子四脚共圆。 模型结果的分析和检验:
椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的问题，但在上述的模型中所给出有关椅子的结论对于实践具有普遍的指导意义。通常，在制作椅子时，我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出一定的要求，这个要求就是：必须且只需把椅子做成四脚连线呈圆内接四边形的形式。这也正好说明了我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形、矩形或等腰梯形，其原因就是他们都是圆内接四边形，这样椅子能放稳。
当然，上述的结论不只是对制作椅子有用，而对四脚共面的所有物体， 如桌子、家用电器、甚至送上月球的四脚机器和设备等，都有着设计方面的价值。
1. 论文题目；
2. 论文摘要（不得超过300字） 3. 关键词（不得少于三个）
4. 论文正文：问题提出（按你的理解对所给题目做更清晰的表述）；问题分析（根具问题的性质，你打算建立什么样的数学模型）；模型假设（有些假设须作必要的解释）；模型设计（对出现的数学符号必须有明确的定义）；模型的解法与结果；模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等；模型的优缺点及改进的方向；必要的计算机程序。
5. 参考文献
1.中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)． 2．大学生数学建模竞赛辅导教材，(一)(二)(三)，叶其孝主编，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)．
3．数学建模教育与国际数学建模竞赛 《工科数学》专辑，叶其孝主编， 《工科数学》杂志社，1994)．
第 12 页 共 12 页