课时作业(六)
一、选择题
－
12
1．(2010·全国卷Ⅰ)设a＝log32，b＝ln 2，c＝5A．a＜b＜c C．c＜a＜b 答案 C
ln 2
解析 a＝log32＝ln 3＜ln 2＝b，又c＝5＞log31
3＝2，因此c＜a＜b，故选C.
－
12
，则( )
B．b＜c＜a D．c＜b＜a
＝
11
＜2，a＝log325
2．(08·浙江高考)已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) 1A．ab≤2 C．a2＋b2≥2 答案 C
解析 由a＋b＝2可得ab≤1， 又a2＋b2＝4－2ab， ∴a2＋b2≥2.
3．(2010·福建卷)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分而不必要条件 C．充要条件 答案 A
解析 当x＝4时，a＝(4,3)，则|a|＝5；若|a|＝5，则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．
4．(2010·湖北卷)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，
B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 1
B．ab≥2 D．a2＋b2≤3
给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. 其中真命题的序号是( ) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 答案 C
解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此时AB平行于CD，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a，b都平行于平面γ，显然此时直线a，b可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.
二、填题空
5．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为________．
1答案 －2 19
6．已知a、b、u∈R＋，且a＋b＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是________．
答案 (－∞，16]
xy
7．(2010·山东卷)已知x，y∈R，且满足3＋4＝1，则xy的最大
＋
值为________．
答案 3
xy
解析 因为1＝3＋4≥2
xy3·4＝2xy
12＝
xy
3，所以xy≤3，
xy3
当且仅当3＝4，即x＝2，y＝2时取等号，故xy的最大值为3. 8．(2010·浙江卷)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
答案 18
解析 由基本不等式得xy≥22xy＋6，令xy＝t得不等式t2－22t－6≥0，解得t≤－2(舍去)或者t≥32，故xy的最小值为18.
9．(2010·安徽卷)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
11①ab≤1；②a＋b≤2；③a＋b≥2；④a＋b≥3；⑤a＋b≥2.
2
2
3
3
答案 ①③⑤
?a＋b?2
解析 两个正数，和为定值，积有最大值，即ab≤4＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2＋2ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，得a＋b≤2，故②错误；由于a2＋b2?a＋b?222332
≥＝1，故a＋b≥2成立，故③正确；a＋b＝(a＋b)(a24＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1.又a2＋b2≥2，∴1111a＋baa＋b－ab≥1，∴a＋b≥2，故④错误；a＋b＝(a＋b)2＝1＋2b＋
2
2
3
3
b
2a≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤正确．
三、解答题
10．已知函数f(x)(x∈R)，对于任意x1、x2∈R，等式f(x1)＋f(x2)
x1＋x2x1－x2
＝2f(2)·f(2)恒成立，但f(x)不恒为0，求证：f(x)是偶函数．
证明 证法一 (分析法)要证f(x)是偶函数，即证对于任意x∈R，x1＋x2x1－x2恒有f(－x)＝f(x)，为此应考虑条件f(x1)＋f(x2)＝2f(2)·f(2)，应用于f(－x)、f(x)的关系上．
x1＋x2x1－x2
由f(x1)＋f(x2)＝2f(2)·f(2)． 得f(－x)＋f(x)＝2f(0)·f(－x)． 欲证f(－x)＝f(x)，需先证f(0)＝1.
由f(x)不恒为0，设存在一个x0使f(x0)≠0， 从而f(x0)＋f(x0)＝2f(x0)·f(0)， 即2f(x0)＝2f(x0)·f(0)．
∵f(x0)≠0，∴f(0)＝1，问题得证． 证法二 (综合法)设x0∈R，f(x0)≠0， 则f(x0)＋f(x0)＝2f(x0)·f(0)， 即2f(x0)＝2f(x0)·f(0)．
∵f(x0)≠0，∴f(0)＝1.对于任意x∈R，有 f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)，
∴f(x)＋f(－x)＝2f(x)．∴f(－x)＝f(x)． 因此，函数f(x)为偶函数． 11.
用向量法证明：已知四面体A－BCD，若AB⊥CD，AD⊥BC，则AC⊥BD.
→、AC→、AD→为基向量． 证明 取向量AB
→＝AD→－AC→，BC→＝AC→－AB→， 则CD
→＝AD→－AB→， BD
∵AB⊥CD，AD⊥BC， →·→＝0，AD→·→＝0. ∴ABCDBC→·→－AC→)＝0， ∴AB(AD→·→－AB→)＝0. AD(AC→·→＝AB→·→， ∴ABADAC→·→＝AD→·→， ADACAB→·→＝AC→·→－AB→) ∴ACBD(AD→·→－AC→·→ ＝ACADAB→·→－AB→·→＝0， ＝ADABAD→⊥BD→，∴AC⊥BD. ∴AC
12．设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，且m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列；
3
(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝2f(bn－1)(n1
∈N，n≥2)，求证：{b}为等差数列．
n
*
分析 本题主要考查使用定义证明等差数列、等比数列，证明方法属于综合法，解题的关键是恰当地处理递推关系．
证明 (1)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3， ∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3.