2012山东省各地高三一模理科数学分类汇编3：导数(2)

12【2012德州高三一模理】21．(本小题满分l2分) 已知函数f(x)?ax?lnx(a?R)． (I)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)设g(x)?x2?2x?1，若对任意x1?(0,??)，总存在x2?[0，1]，

使得f(x1)?g(x2)，求实数a的取值范围．

- 6 -

13【2012泰安市高三一模理】22.（本小题满分14分） 已知函数f?x??x2??2a?1?x?alnx.

（I）当a?2时，求曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程； （II）求函数f?x?的单调区间；

（III）若对任意a???3,?2?及x??1,3?时，恒有ma?f?x?＜1成立，求实数m的取值范围.

- 7 -

1【答案】

4 3【解析】函数的导数为‘f(x)?3x2-2x?1，所以f'(1)?3-2?1?2，即切线方程为

?y?x2解得交点坐标为(0,0),(2,2)，所以切线与函数y?2?2(x?1)，整理得y?2x。由?y?2x?1842?4??。 g(x)?x围成的图形的面积为?(2x?x2)dx?(x2?x3)00333222【答案】

?3?3 23， ………………2分 23【答案】解：（1）∵f'(x)?x2?2bx?2且x?2是f(x)的一个极值点

∴f'(2)?4?4b?2?0?b?∴f'(x)?x2?3x?2?(x?1)(x?2) ……………3分

由f'(x)?0得x?2或x?1，∴函数f(x)的单调增区间为(??,1)，

(2,??)； ………………………………………………5分

由f'(x)?0得1?x?2，∴函数f(x)的单调减区间为(1,2)， ……………-6分 （2）由（1）知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,??)上单调递增 ∴当x?2时，函数f(x)取得最小值，f(x)min?f(2)=a?2， ……………8分 3x?[1,??)时，f(x)?2?a2恒成立等价于 32a2?f(x)min?,x?[1,??) ……… ………10分

32即a?a?0?0?a?1. ………………12分

4【答案】A

f`(x)?1nx?2(x?0),令f`(x)?0,得x?5【答案】解：（I

1e2

………2分

?当x?(0,?当x?11)时，f`(x)?0;当x?(,??)时，f`(x)?022ee1111时，f(x)min?(1n?1)?? …………… 4分 e2e2e2e22?112ax(x?0)……………5分 （II）F(x)?ax2?1nx?2(x?0),f`(x)?2ax??xx①当a?0时，恒有f`(x)?0，F（x）在(0,??)上是增函数；

- 8 -

②当a?0时

1令f`(x)?0,得2ax2?1?0,解得0?x??;2a1令f`(x)?0,得2ax2?1?0,解得0??;2a

………………8分

综上，当a?0时，F（x）在(0,??)上是增函数；

当a?0时，F（x）在(0,?（III）k?11)上单调递增，在(?,??)上单调递减……9分 2a2af`(x2)?f`(x1)1nx2?1nx1?

x2?x1x2?x1x2?11x2x2x2?x1x1?x2，等价于正1?要证x1??x2，即证x1??令t?，

x2x1k1nx2?1nx1x11nx1t?1?t，由t>1，知1nt>0，故等价于证1nt0)(＊) 则只要证1?1nt1g(t)?t?1?1nt(t?1),则g`(t)?1??0(t?1)故g(t)在[1,??]上是增函数，①设 t?当t?1时，g(t)?t?1?1nt?g(1)?0,即t?1?1nt(t?1)②

设h(t)?t1nt?(t?1)(t?1),则h`(t)?1nt?0(t?1),故h(t)在[1,??]上是增函数1?x2 k?当t?1时，h(t)?t1nt?(t?1)?h(1)?0，即t?1?t1nt(t?1) 14分

由①②知（＊）成立，故x1?6【答案】5?e 7

【

答

2案】22. 解：

(1)f'(x)?lnx?1,令f'?x??0,解得0?x?1?1?,?f(x)单调递减区间是?0,?; …2分 e?e?……………4分

令f'?1??x??0,解得x?1,?f(x)单调递增区间是?,???;e?e?

1，t无解 …………………5分 e1111(ⅱ)0

eeee(2) (ⅰ)0

- 9 -

(ⅲ)

11?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt…9分 ee……………10分

1?10?t??-e?f(x)min?e，1?t??tlnte(2)由题意:2xlnx?3x2?2ax?1?2 即2xlnx?3x2?2ax?1

?x??0,???

31x?……………11分 22x 3x1?设h?x??lnx?, 22x?x?1??3x?1?131'??则h?x????………………12分 22x22x2x

1令h'?x??0,得x?1,x??(舍)

3可得a?lnx?当0?x?1时,h'?x??0;当x?1时, h'?x??0

?当x?1时,h?x?取得最大值, h?x?max=-2 ……13分 ?a??2.

?a的取值范围是??2,???. ………………14分

1?ax8【答案】21.Ⅰ)定义域(0,??),f?(x)?

x11当a?0时,x?(0,)f?(x)?0;x?[,??),f?(x)?0,

aa……………1分

当a?0时,x?(0,??),f?(x)?0

11所以当a?0时,f(x)的单调增区间为(0,),减区间为(,??);

aa当a?0时,f(x)的单增区间为(0,??),无减区间. ……………5分

3（Ⅱ）g(x)?x?(m?a)x2?x,g?(x)?3x2?(m?2a)x?1 2……………7分

?函数g(x)在区间(a,3)上有最值,?函数g(x)在区间(a,3)上不单调,g?(0)??1?0

?g?(a)?0?3a2?(m?2a)a?1?0??即?对任意的a?[1,2]恒成立,

??g(3)?0?3m?6a?26?0……………10分

1?3219?m??5a即?对任意的a?[1,2]恒成立,得??m?? ……………12分 a32?3m?6a?26?0?

- 10 -