【备选2】2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
【解析】 根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度），
10（分）
【备选3】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人看
见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？
【解析】 8s，可以把车上的人给抽象出来看成一点，那么就类同题1。得出快车和慢车的速度和是35，反之，由车长
和速度得到280/35＝8
【备选4】甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行72千米，乙艇每小时行10千米．现甲、乙两艘小游艇于
同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距18千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地．问水流速度为每小时多少千米？
【解析】 两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为12小时．相遇
后又经过4小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶18千米需要10小时，那么甲艇的逆水速度为12(千米/小时)，那么水流速度为53(千米/小时)
第八讲 行程问题（二）
教学目标：
1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题； 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”；
4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．
知识精讲：
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；s甲，s乙来表示，大体可分为以下两种情况：
1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的
速度之比。
?s甲?v甲?t甲s甲s乙，这里因为时间相同，即,所以由 t?t?tt?，t??乙乙甲甲v甲v乙?s乙?v乙?t乙s甲s乙s甲v甲得到t?，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比 ??v甲v乙s乙v乙2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们
速度的反比。
?s甲?v甲?t甲，这里因为路程相同，即s甲?s乙?s，由s甲?v甲?t甲，s乙?v乙?t乙 ??s乙?v乙?t乙得s?v甲?t甲?v乙?t乙，行程问题常用的解题方法有
v甲t乙?，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。 v乙t甲11
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
例题精讲：
模块一、时间相同速度比等于路程比
【例 33】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，
甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？
【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 :
3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了?3?1个全程，与第一次相遇地点的距离为
47575422?(1?)?个全程．所以 A、 B两地相距30??105 (千米)． 7777
【例 34】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，
乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
A10分钟10分钟B10分钟C
因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间
为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信
A10分钟10分钟B10分钟5分钟5分钟C
12
当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信 在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟）， 此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟 所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟
【例 35】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发
一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处
相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？
【分析】 甲、乙两人速度比为80:60?4:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的
乙走了全程的
4，73．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程743的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间773343311乙走了?，所以甲停留期间乙行了???，所以A、B两点的距离为60?7?=1680(米)．
7477444
【例 36】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速
度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？ 【解析】 两车相遇时甲走了全程的
54，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙99468的速度比为5?(1?20%):4?(1?20%)?5:6 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了??，距离 A地
95155811???450 (千米)． ，所以 A、 B 两地的距离为10?9154545
【例 37】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之
间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，两人之间的
距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45? ? 千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。
【例 38】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相
等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即
13
第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用51在走平路上的时间为25?30?小时，其余的小时在走上坡路；
66因为第一小时比第二小时多走了15千米，而
11小时的下坡路比上坡路要多走?30?15???7.5千米，那么第
661121一小时余下的下坡路所用的时间为?15?7.5??15?小时，所以在第一小时中，有??小时是在下坡路
26321小时是在平路上走的． 3215717因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了??小时，走上坡路用了1??小时．
366663上走的，剩余的
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是
27:?4:7．那么下坡路的速度为36?30?15??米．
7?105千米/时，平路的速度是每小时105?15?90千米，上坡路的速度是每小时90?30?60千7?4277那么甲、乙两地相距105??90??60??245(千米)．
366
模块二、路程相同速度比等于时间的反比
【例 39】 甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共
行了35千米．求A，B两地间的距离．
【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:3，那么在3小时内的路程之比也是4:3；
4又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为35??20千米，即A，B两地间的距离为20千米．
3?4
【例 40】 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，
又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？
【解析】 由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）
从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12＋8＝20（分），乙需 20÷4×6＝30（分）.
【例 41】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后
甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从
14
B 地出发时是 8 点几分．
【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程
一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分．
【例 42】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条
路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？
【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路5511?2??程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是1?1.6，因此，走上坡路需要的时间是，118888?8:11，所以，上坡速度是平路速度的那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为1:倍． 811
3【例 43】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的时，出了故障，用
55分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？
333【分析】 当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下50?(1?)?20分钟的路程；修理完毕时还剩下
55520?5?15分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:15?4:3，根据路程一定，速度比等
4于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快750??750?250米．
3小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．
【例 44】 (2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的
终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时，然后同样以原速的
3前进，最43前进，则4到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为________公里．
3【解析】 如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5?0.5?1小时，在一小时以后的
4那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花1??4?3??3?3小时，现在要
3前进，则到达目的地仅4晚1?0.5?0.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花0.5??4?3??3?1.5小时，现在要花0.5??4?3??4?2小时．所以按照原计划90公里的路程火车要用花1??4?3??4?4小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的
3?1.5?1.5小时，所以火车的原速度为90?1.5?60千米／小时，整个路程为60??3?1??240千米．
【例 45】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返
回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，
即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为： 5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．
【例 46】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速
度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？
15