数学选择压轴题（解析与答案）
一．选择题（共30小题）
1．（2013?陕西一模）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义．
【分析】由※的定义，a※b=12分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=12；a和b同奇偶，则a+b=12．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可． 【解答】解：a※b=12，a、b∈N*，
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B
【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．
2．（2011?龙岩校级模拟）设集合S={A0，A1，A2，A3，A4}，在S上定义运算⊙为：Ai⊙Aj=Ak，其中k=|i﹣j|，i，j=0，1，2，3，4．那么满足条件（Ai⊙Aj）⊙A2=A1（Ai，Aj∈S）的有序数对（i，j）共有（ ）
A．12个 B．8个 C．6个 D．4个
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题．
【分析】由已知所求有序数对（i，j）可以转化为1=||i﹣j|﹣2|，化简求解． 【解答】解：由已知（Ai⊙Aj）⊙A2=A1， ∴1=||i﹣j|﹣2|，
化简得i﹣j=1，﹣1，3，﹣3，
i﹣j=1时（i，j）=（1，0），（2，1），（3，2），（4，3）； i﹣j=﹣1时（i，j）=（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）； i﹣j=3时（i，j）=（3，0），（4，1）； i﹣j=﹣3 时（i，j）=（0，3），（1，4）， 共12对． 故答案选A．
【点评】本题主要考查元素与集合间的关系及其应用，将所给条件转化为简单条件，可是解题过程简单一些．
3．（2014?荆州一模）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0； ⑤abc＜4； ⑥abc＞4．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③⑤ B．①④⑥ C．②③⑤ D．②④⑥ 【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 【专题】综合题；压轴题．
【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．
【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3） ∴当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞3时，f'（x）＞0 所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）和（3，+∞） 单调递减区间为（1，3）
所以f（x）极大值=f（1）=1﹣6+9﹣abc=4﹣abc， f（x）极小值=f（3）=27﹣54+27﹣abc=﹣abc
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知： a＜1＜b＜3＜c
及函数有个零点x=b在1～3之间，所以f（1）=4﹣abc＞0，且f（3）=﹣abc＜0 所以0＜abc＜4 ∵f（0）=﹣abc ∴f（0）＜0
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0 故答案为：②③⑤
【点评】本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．
4．（2013?上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（ ） A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有 【专题】压轴题；函数的性质及应用．
【分析】根据充要条件的定义可知，只要看“b2﹣4ac＜0”与“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”能否相互推出即可．
【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点； 则a＞0且△=b2﹣4ac＜0．
但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0；
反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时． 从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件． 故选D．
【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题．
5．（2013?沈河区校级模拟）已知下列命题四个命题：
①若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0）上是增函数，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②在△ABC中，A＞B是cosA＜cosB的充要条件；
③设函数f（x）=x2+2（﹣2≤x＜0），其反函数为f1（x），则f1（3）=﹣1或1．
﹣
﹣
，
④在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b2+c2=a2+bc，则其中真命题的个数有（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；余弦定理．菁优网版权所有 【专题】压轴题；阅读型．
【分析】①联系偶函数和增函数得到函数在[0，1]上为减函数，从而可以判断；
．
②因为A、B是三角形的内角，所以A，B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是减函数．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案；
③欲求f1（3），根据原函数的反函数为f1（x）知，只要求满足于f（x）=3的x的值即可；
﹣
﹣
④根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：①由已知可得函数在[0，1]上为减函数，∵＞0，∴f（sinθ）＜f（cosθ）， 故①错；
②∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故②正确； ③令f（t）=3，则t=f1（3）（﹣2≤t＜0），所以有t2+2=3，所以t=±1，因为﹣2≤t＜0，所以t=﹣
﹣
，∴1＞sinθ＞cosθ
1，故③错误；
④∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc， 结合余弦定理知cosA=
=
=，
又A∈（0，π），∴A=从而真命题有两个 故选B．
，故④正确．
【点评】本题的考点是命题的真假判断与应用，解题时需依据函数的性质，余弦定理一一判断，综合性强．
6．（2013?茂南区校级模拟）设函数f（x）=x|x|+bx+c（x∈R）给出下列4个命题 ①当b=0时，f（x）=0只有一个实数根； ②当c=0时，y=f（x）是偶函数；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称； ④当b≠0，c≠0时，方程f（x）=0有两个不等实数根． 上述命题中，所有正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；阅读型．
【分析】对于①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=﹣c只有一个交点，故可判断；②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，可判断函数为奇函数；③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故可判断；④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根．
【解答】解：①当b=0时，f（x）=x|x|+c=0，因y=x|x|与y=﹣c只有一个交点，故①正确； ②当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣f（x），故y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确； ④当b≠0，c≠0时，f（x）=x|x|+x+1只有一个实数根． 故选C．
【点评】本题的考点是命题的真假判断与应用．主要考查函数性质的判断，关键是正确理解函数．
7．（2014?黄山一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2011）的值为（ ） A．﹣1 B．0
C．1
D．2
【考点】对数的运算性质；函数的值．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题．
【分析】通过函数的表达式，利用f（2011）推出x＞0时，函数的周期，求出f（2011）=f（1），然后求解函数的值．
【解答】解：f（2011）=f（2010）﹣f（2009）=f（2009）﹣f（2008）﹣f（2009）=﹣f（2008）=
﹣f（2007）+f（2006）=﹣[f（2006）﹣f（2005）﹣f（2006）]=f（2005）． 函数f（x），x＞0时，周期为6， ∴f（2011）=f（1）=f（0）﹣f（﹣1） =log21﹣log22 =﹣1． 故选A．
【点评】本题主要考查对数的运算性质和有理数指数幂的化简求值的知识点，解答本题的关键是熟练对数的运算性质，此题难度一般．
8．（2014?庐阳区校级模拟）若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f（x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数数的“友好点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 【专题】压轴题；新定义；函数的性质及应用．
，则此函
，
【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可． 【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x， 可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，
则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x 由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，
看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数． 如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2． 即f（x）的“友好点对”有：2个． 故答案选 C．
【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．
9．（2013?文昌模拟）已知函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若g（x）=x+m﹣lnx的保值区间是[e+∞），则m的值为（ ） A．﹣1 B．1
C．e
D．﹣e
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；压轴题；新定义．
【分析】根据g（x）的保值区间得到m的取值范围，求出函数的导函数的增减区间． 【解答】解：∵g′（x）=1﹣＞0，得x＞1
所以g（x）在（1，+∞）上为增函数，同理可得g（x）在（0，1）上为减函数． 又因为g（x）=x+m﹣lnx的保值区间是[e，+∞），则定义域为[e，+∞） 所以函数g（x）在[e，+∞）上单调递增 g（x）min=g（e）=e+m﹣1=e 所以m=1