。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 3.2 导数的计算
基本初等函数的导数 [提出问题] 已知函数：
(1)y＝f(x)＝c，(2)y＝f(x)＝x， (3)y＝f(x)＝x2
，(4)y＝f(x)＝1x，
(5)y＝f(x)＝x.
问题1：函数y＝f(x)＝c的导数是什么？ 提示：∵Δyfx＋Δx－fxc－Δx＝
Δx＝cΔx＝0，
∴y′＝limΔx→0
ΔyΔx＝0. 问题2：函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？ 提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2
)′＝2x，
??1?x???′＝－1x2，(x)′＝12x . 问题3：函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα
(α∈Q*
)的形式，其导数有何规律？ 1提示：∵(x)′＝1·x1－1
，(x2)′＝2·x2－1
，(x)′＝(x2)′＝112x2-1＝1
2x，
∴(xα
)′＝αxα－1
.
[导入新知]
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 ①f(x)＝c f′(x)＝0 ②f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 ③f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
1
④f(x)＝cos x ⑤f(x)＝a ⑥f(x)＝e ⑦f(x)＝logax ⑧f(x)＝ln x
[化解疑难]
理解公式时要注意的五点：
xxf′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln__a(a＞0) f′(x)＝ex f′(x)＝(a＞0，且a≠1) xln af′(x)＝ x11(1)对于幂函数型函数的导数，x为自变量，α为常数，可推广到α∈R也成立； (2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；
(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围； (4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例； (5)要重视公式⑤和⑦，对指数和对数的运算要准确．
导数的运算法则
[提出问题]
1
已知f(x)＝x，g(x)＝.
x问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 1
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－2.
x11
问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
xx提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋＝Δx＋∴
－Δx，
xx＋Δx1?1?－?x＋? x＋Δx?x?
Δy＝1－Δxx1
，
x＋Δx1?＝1－1. x＋Δx?x2?
lim Δy＝lim ?∴Q′(x)＝Δ?1－x→0
ΔxΔx→0?x 2
1
同理H′(x)＝1＋2.
x问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 问题4：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？
?1?′
提示：不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×?－2?＝
x?
?
1－2. x[导入新知]
导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)??fx?′＝f?
?gx?
xgx－fxg2
[gxx(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝cf′(x)． [化解疑难]
导数的运算法则的认识
1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及
?fx?′＝f?gx?g??
x. x2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
3．(1)[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f1′(x)＋f2′(x)＋…＋fn′(x)；
(2)[cf(x)]′＝cf′(x)，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．
利用导数公式求函数的导数 [例1] 求下列函数的导数： 1π20
(1)y＝x；(2)y＝4；(3)y＝sin；
x3(4)y＝log6x；(5)y＝
5
20
1
.
x2
20－1
[解] (1)y′＝(x)′＝20x
＝20x.
3
19
(2)y′＝(x)′＝－4x－4－4－1
＝－4x.
－5
?3??π?(3)y′＝?sin?′＝??′＝0.
3???2?
(4)y′＝(log6x)′＝
1
. xln 6
22?1??-12?52?7??5(5)y′＝5′＝(x)′＝－x＝－x5.
?x2?55??
[类题通法]
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，运算比较繁杂．
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[活学活用] 求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝log7x；(3)y＝x解：(1)y′＝(x)′＝6x. (2)y′＝(log7x)′＝(3)y′＝(x
求导公式及导数运算法则 [例2] 求下列函数的导数： (1)y＝x－3x－5x＋6； (2)y＝(2x＋3)(3x－2)； (3)y＝25
3
2
2
6
5
6
2
x.
1
. xln 7
2
53x)′＝(x·x)′＝(x)′＝x2.
2
1252x－1
； x＋1
3
(4)y＝x·e； (5)y＝x＋log3x.
[解] (1)y′＝(x－3x－5x＋6)′ ＝(x)′－(3x)′－(5x)′＋6′ ＝5x－9x－10x.
(2)法一：y′＝(2x＋3)′(3x－2)＋(2x＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x＋3)·3 ＝18x－8x＋9.
4
2
22
2
4
2
5
3
2
5
3
2
2
x法二：∵y＝(2x＋3)(3x－2)＝6x－4x＋9x－6， ∴y′＝18x－8x＋9. (3)法一：y′＝?＝＝
2
232
?x－1?′
??x＋1?
x＋1′
x－1′x＋1－x－1
x＋12x＋1－x－12
＝2
x＋1x＋1
2
.
法二：∵y＝∴y′＝?1－2′
＝－
x－1x＋1－22
＝＝1－， x＋1x＋1x＋1
??
2??－2?′
′＝?x＋1?x＋1????
2
x＋1－2x＋1′2
＝2
x＋1x＋1
3
.
(4)y′＝(x)′e＋x(e)′＝3xe＋xe ＝x(3＋x)e.
(5)y′＝(x＋log3x)′＝(x)′＋(log3x)′ ＝2x＋
1
. xln 3
2
2
2
x3x2x3xx[类题通法]
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
[活学活用] 求下列函数的导数：
cos x?211?(1)y＝x?x＋＋3?；(2)y＝；
?xx?
xx(3)y＝3e－2＋e.
1?211?3
解：(1)因为y＝x?x＋＋3?＝x＋1＋2，
xx?xx?
x22
所以y′＝3x－3.
x(2)y′＝?＝＝
?cos x?′
??x?
x2
cos x′·x－cos x·x′－x·sin x－cos x 2
x5