第二讲 第二节 第一课时 直线的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
??x＝3＋4t1．已知直线?
??y＝－4＋3t
(t为参数)，下列命题中错误的是( )
A．直线经过点(7，－1) 3
B．直线的斜率为
4C．直线不过第二象限
D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离
解析： 直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D．
答案： D
1x＝1－t?2?
2．以t为参数的方程?
3
y＝－2＋t??2
表示( )
π
A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
3B．过点(－1,2)且倾斜角为
π
的直线 3
2π
C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
3D．过点(－1,2)且倾斜角为解析： 化参数方程 1x＝1－t?2??3y＝－2＋t??2
2π
的直线 3
为普通方程得y＋2＝－3(x－1)，
故直线过定点(1，－2)， 2π
斜率为－3，倾斜角为. 3答案： C
1
3．双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是( )
94A．8x－9y＝7 C．4x－9y＝6
B．8x＋9y＝25 D．不存在
x2y2
??x＝2＋tcosα，
解析： 设直线的参数方程为?
??y＝1＋tsinα
(t为参数)，
代入双曲线方程，得
4(2＋tcosα)－9(1＋tsinα)＝36，
整理得(4cosα－9sinα)t－(16cosα－18sinα)t－29＝0. 设方程的两个实根分别为t1，t2， 18sinα－16cosα
则t1＋t2＝. 22
4cosα－9sinα因为点P平分弦， 所以t1＋t2＝0，
8
即18sinα－16cosα＝0，tanα＝，
98即k＝. 9
8
因此弦所在直线方程为y－1＝(x－2)，
9即8x－9y＝7. 答案： A
4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
??x＝1＋t，A．?
?y＝3＋t?
2
2
2
2
2
(t为参数)
??x＝1－t，
B．?
?y＝5－2t?
(t为参数)
??x＝1－t，
C．?
?y＝3－2t?
(t为参数)
25
?x＝2＋t，?5D．?
5
y＝5＋t??5
(t为参数)
1
解析： 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，
2所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
2
1x＝t＋，??t5．过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线?
(t为参数)相交于
??y＝t－1
tA，B两点，则线段AB长为__________ ________.
?x＝－3
解析： 直线的参数方程为?3＋s，?
2
??y＝12s
(s为参数)，
?x＝t＋1
，曲线??t??y＝t－1
t
(t为参数)
可以化为x2
－y2
＝4.
将直线的参数方程代入上式， 得s2
－63s＋10＝0，
设A，B对应的参数分别为s1，s2， ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10， |AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2
2
－4s1s2＝217.
答案： 217
6．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π
??x＝2cos θ，6，设l与曲线?
??
y＝2sin θ数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________ ________.
解析： 直线的参数方程为 ??x＝1＋tcos π
，?6?x＝13
则?＋
??y?
2t，＝1＋tsin π6
??y＝1＋12
t.
曲线的直角坐标方程为x2
＋y2
＝4， ?x＝1＋3
t，把直线??
2??y＝1＋12t
代入x2＋y2
＝4
得??1＋3?2??2t??＋??1＋12t??2
?
＝4，
θ为参
3
(t2＋(3＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，
则点P到A，B两点的距离之积为2. 答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分) 5π
7．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为. 6(1)写出直线l的参数方程；
??x＝2cosθ，
(2)设此直线与曲线C：?
?y＝4sinθ?
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；
(3)设AB中点为M，求|PM|. 解析： (1)直线l的参数方程是 5π3
?x＝－3＋tcos＝－3－t，?62?5π1y＝3＋tsin＝3＋t??62
(t为参数)．
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x＋y－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4?－3－
2
22
?
?3?2?1?2
t?＋?3＋t?－16＝0. 2??2?
即13t＋4(3＋123)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 116
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝. 13(3)由t的几何意义，知 中点M的参数为
t1＋t2
2
，
＋123
. 13
1
故|PM|＝|t1＋t2|＝
2
8．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程．
解析： 设直线的倾斜角为α，
??x＝3＋tcosα，则它的方程为?
?y＝2＋tsinα，?
(t为参数)
由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0， ∴0＝2＋tsinα，
4
2
即|PA|＝|t|＝，
sinα0＝3＋tcosα， 3
即|PB|＝|t|＝－.
cosα故|PA|·|PB|＝
2. sinα
?－3?＝－12. ?cosα?sin2α??
∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°， 即α＝135°时， |PA|·|PB|有最小值． 2
?x＝3－t?2
∴直线方程为?
2
y＝2＋t??2
(t为参数)，
化为普通方程即x＋y－5＝0. 尖子生题库
☆☆☆
9．(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ＝arccos
2
)方向300 km的海面P处，并以200 km/h的速度向西偏北45°10
方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解析： 方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t(h)22
?x＝300×－20×t，?102
台风中心P(x，y)的坐标为?
722
y＝－300×＋20×t.??102
5