曲线a2y?x2(0?a?1)将边长为1的正方形分成A、B两部分(如图所示)，其中A绕x轴旋转一周得到一旋转体,记其体积为VA，B绕y轴旋转一周得到另一旋转体,记其体积为VB.问当a取何值时,VA?VB的值最小.
20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才
ya2y?x21BoAa1x柱6米处一球员沿垂直于能获得最大的射门张角
?？若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。
21、（本题满分10分）设
f(x)??x1ln(1?t)1dt(x?0)，求f(x)?f(). tx22、证明题（本题满分10分）
设函数f(x)在
?0,3?上连续,在?0,3?内可导, f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1。试证
f?????0.
必存在一点???0,3?，使得
23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用h 表示高度，假设在时刻t0 ，火箭高度h=3000m，运动速度等于300m/s,（1） 用L表示火箭与摄像机的距离，求在t0时刻L的增加速度. （2） 用?表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在t0时刻?的增加速度.
《高等数学（一）》期末复习题答案
一、选择题
1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以x；第四步化简即可。 lim(x?x?x)?limx??2(x2?x?x)(x2?x?x)(x?x?x)2x???lim(x2?x?x2)(x?x?x)2x???limx(x?x?x)2 x???limx??1x2?x(?1)x2?lim11?
x??21(1??1)x内存在实数根，又因f(0)?1,f(1)??1，有零点定理得f(x)在区间(0,1)3 2、B 解答：设f(x)?x?3x?1，则
f?(x)?3x2?3?0，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。
3、C 本题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。
4、C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为
??0sinxdx?2
5、D 解答：直接积分法
y?13x?C，代入已知点坐标可得C?2 3 6、A解答：因为limlnx?1x?ln1?0，所以此时是无穷小量。
7、C 解答：lim(xsinx?011?sinx)?0?1??1 xx 8、A 解答：因为
y??ex?1?0，所以单调增加。
1?x2 9、D 解答：
?x11111222dx?dx?d(x?1)?ln(x?1)?C 222??x?12x?12x?1210、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为11、B 解答：先分离变量，两端再积分
?10exdx?ex1?e?1 0dy111?xy?dy?xdx??dy??xdx?lny?x2?C1 dxyy2所求通解为
y?Ce12x2
12、D 解答：直接积分法13、C 解答：
y?x3?C，当C?0时有y?x3
y?sinx?cosx?1 是奇函数加上偶函数 ，所以是非奇非偶函数。
14、B 解答：limln(x?1)?x?0ln1?0，所以此时是无穷小量。
15、A 解答：limx?1x?11?lim?lim?0 其它三项极限都不存在。
x??x2?1x??(x?1)(x?1)x??(x?1)，
f(0)?1,f(?1)??p?0，有零点定理得f(x)在区间(?1,0)内存在实数根，又因
16、B 解答：设f(x)?x3?px?1，则
f?(x)?3x2?p?0，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。
17、B 解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选B
18、C 解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是0，还可能是负数。 19、 A 解答：由函数的奇函数和偶函数的定义去判断即可，设
y?f(x)?lnx?x2?1??，则
f(?x)?ln?x?x?1?2??x???lnx2?1????x2?1?xx?1?x2???ln?x?1?x??x?1?x?222
?ln?1x?1?x2???lnx?x2?1??f(x)
??20、B 解答：由于21、C 解答：limx??f??x??0所以f?1??f?0?
21?e?x2=2?y?2 是水平渐近线；limx?021?e?x2=??x?0
是铅直渐近线。
22、D 考查定积分的性质与基本的积分表
?(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C
n?(?1)n?123、A 解答：分子分母同时除以n可以得到limn??n
24、B 解答：考查无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。 25、C 解答：
f?(x)?g?(x)?df(x)?dg(x)?(?df(x))??(?dg(x))?，其它选项都有反例可以排除。
26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得
1y?k?lim?limx??xx??x求斜渐近线为y?x。其它选项都没有。 y?x?sin二、填空题
x?sin1x?lim1?0?1b?lim(y?kx)?lim(x?sin1?x)?limsin1?0，所
x??x??x??x??xxx12x11?cosx1121、 解答：1?cosx~x2?lim ?lim?22x?02 2xx2
x?0或者用罗比达法则也可以求解。 2、 2 解答：
f(x)?e2x?2，则f?(x)?2e2x?f?(0)?2
113、 2 解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为0
?1
?1(xcosx?5x?1)dx??(0?5x?1)dx=?(0+0?1)dx=?1dx=2
?1?1?1t314、e5、
x?C 分析：被积函数et 相对于积分变量来说是常数，所以?etdx?etx?C
y?2ex 解答：y??y?0?y?Cex，代入初始条件y|x?0?2得到2?Ce0?C?2 所求特解为y?2ex
x2?422?406、0 解: lim?lim?lim?0
x?2x?3x?22?3x?2537、
4x2?x?2(x?2)(x?1)(x?1)2?13 解:lim?lim?lim?lim?x?2x?2(x?2)(x?2)x?2(x?2)x?22?2x2?44
8、 1 解:
????y?xsinx?1?y??sinx?xcosx则f?()?sin?cos?12222
9、 2 解：应用性质，奇函数在对称区间上的积分为0
?1?1(xcosx?1)dx?0??1dx?2
?1110、3arctanx?C解：由基本的积分公式
3?1?x2dx?3arctanx?C
11、
y2?x2?C解：对方程 ydy?xdx两端积分?ydy??xdx?y2?x2?C
141451?2 12、 2解：利用偶函数的积分性质?5xdx?2?5xdx?2x?10013、1 解： limx??2x?sin2x?limx??x1?sin2xx?lim1?0?1x??11
14、?2xsinxdx解：由微分的定义dy?y?dx，先求出导数，再求微分
y?cosx2?y???sinx2?2x??2xsinx2?dy??2xsinx2dx
15、?1 解：
y?xcosx?3?y??cosx?xsinx?f?(?)?cos???sin???1
16、
112xe?C 解：将ex看成一个整体，利用凑微元法得?exdex?e2x?C
221y??e?2x?C解：先分离变量，再积分得通解
2
17、
y??e?2x?18、
dy1?e?2x?dy?e?2xdx??dy??e?2xdx?y??e?2x?C dx2y?ex?C 解：先整理，再分离变量求通解
lny??x?y??ex??y?dy??exdx?y?ex?C
19、
e?6x)?(?6)23x2(?2 解：利用重要极限进行恒等变形，再求解lim(1?)?lim(1?)?e?6 x??x??xx20、xx(lnx?1) 解：本题是幂指函数，利用对数求导法来求导数
y?1x?lnx?x??1?lnx?y??y(1?lnx)?x(1?lnx) yxy?xx?lny?xlnx?121、
2lim(n?? 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幂都是2次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比
12??n2n2(1?n)nn1?2?3?...?n12 ?2)?lim?lim?n??n??nn2n22x??22、
12 解：分子分母最高次幂都是3次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比limx(x?1)(x?2)1? 32x?x?3223、 xx(lnx?1)dx解：由微分的定义dy?y?dx，先求出导数，再求微分，本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数
y?xx?lny?xlnx?y?1x?lnx?x??1?lnx?y??y(1?lnx)?x(1?lnx) yx?dy?xx(1?lnx)dx
124、
42x2?3x?10?11 解： lim?lim?
x?0x?0x?40?4425、2 解：先求导数，再代入具体数值
f?(x)?2e2x?f?(0)?2e0?2
26、2? 解：利用奇函数与偶函数的积分性质
?a?2?a(1?sinx)dx??5a?2?a1dx?2?
exdx 解：由微分的定义dy?y?dx，先求出导数，再求微分 27、xe?1exexy?ln(e?1)?y??x?dy?xdx
e?1e?1x28、 2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质
??3x??2?2(cosx?1?x2)dx???2?2cosxdx?2?02cosxdx?2. ?
三、解答题
1、（本题满分9分）
?x?1?0解：由题意可得，?
2?x?0? 解得??x?1
?x?2所以函数的定义域为 [1，2]
2、（本题满分10分） 解：
f?(0)?limx?0x?0f(x)?f(0)
x?0(x?2014)?2014!
?lim(x?1)(x?2)
3、（本题满分10分） 解：方程两端对x求导，得将
y??x2?x?6
(0,1)x?0代入上式，得y??6
从而可得：切线方程为
4、（本题满分10分）
y?1?6(x?0) 即y?6x?1