由中位线定理可得|OP|=|MF1|=2，
因此，点P的轨迹是以点O为圆心，半径为2的圆x2+y2=8．
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故答案为：x+y=8．
三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围． 【考点】复合命题的真假．
【分析】分别求出在命题p，q下的a的取值，然后根据条件判断出p，q中一真一假，所以分别求在这两种情况下a的范围，再求并集即可．
【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a； 2
x﹣2x的最小值为：﹣1； ∴﹣1＞a，即a＜﹣1；
2
命题q：存在x∈R，使x+2ax+2﹣a=0； 即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；
2
∴△=4a﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；
∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假； ∴若p真q假：
，解得﹣2＜a＜﹣1；
若p假q真：，解得a≥1；
∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．
18．一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x，从而写出函数表达式； （2）求导V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），由导数可得在x=时函数V（x）有最大值． 【解答】解：（1）由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为a﹣2x，高为x， 则无盖方盒的容积V（x）=（a﹣2x）2x，0＜x＜； （2）∵V（x）=（a﹣2x）2x=4x3﹣4ax2+a2x，0＜x＜； ∴V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），
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∴当x∈（0，）时，V′（x）＞0； 当x∈（，）时，V′（x）＜0； 故x=是函数V（x）的最大值点， 即当x=时，方盒的容积V最大．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证； （2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：
方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求； 方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求． 【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC． 由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD．
因为PC?平面PCD，故PC⊥BC． （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍． 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
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易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h． 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC． 又PD=DC=1，所以
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积由VA﹣PBC=VP﹣ABC，
，得
．
． ，
．
故点A到平面PBC的距离等于． 20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论． 【解答】（1）解：由题意设椭圆的标准方程为
由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a+c=3，a﹣c=1， ∴a=2，c=1 ∴b2=a2﹣c2=3 ∴椭圆的标准方程为
；
，
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，
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则
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即
∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0 解得：
，且均满足3+4k2﹣m2＞0
当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾； 当
时，l的方程为
，直线过定点
所以，直线l过定点，定点坐标为
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