变截面压杆稳定临界力分析
表1 大端固定小端自由的变截面压杆的计算长度系数
f
m= 2.458 0.1
m=2.361 0.2
m=2.220 0.4
m=2.137 0.6
n=1
m=2.687 m=2.477 m=2.274 m=2.148
n=2
m=2.790 m=2.522 m=2.292 m=2.156
n=3
m=2.847 m=2.546 m=2.304 m=2.155
n=4
表2 两端固定的三段阶段的压杆
f
0.1 0.2 0.4 0.6
a=0.2 m=1.287 m=0.937 m=0.702 m=0.593 a=0.4 m=1.030 m=0.784 m=0.630 m=0.571 a=0.6 m=0.797 m=0.688 m=0.610 m=0.562 a=0.8 m=0.755 m=0.685 m=0.599 m=0.551
表3 两端铰接的变截面压杆
f
0.1 0.2 0.4 0.6
m=1.453 m=1.350 m=1.199 m=1.124
n=1
m=1.656 m=1.445 m=1.247 m=1.132
L1 Ln=2
m=1.757 m=1.478 m=1.260 m=1.135
n=3
m=1.796 m=1.495 m= 1.256 m=1.135
n=4
注：
a=表1，表2，表3分别对应上面三种情况的计算长度系数。表中f为截面最小和最大惯性矩之比，即：
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f=
Imin。 Imax2.4 本章小结
本章主要介绍了应用有限元法来求解变截面压杆稳定临界力的一些基本步骤，并得
到了变截面压杆的临界荷载Pcr的公式，并且求得了常见的大端固定小端自由的变截面压杆，两端固定的三段阶段的压杆和两端铰接的变截面压杆三种常见的变截面压杆的计算长度系数m，方便以后直接运用求解。
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变截面压杆稳定临界力分析
3 变截面压杆稳定临界力分析的能量法解法
3.1 基本原理
能量守恒定律是热力学三大定律之一也是自然界普遍存在的一个规律，而当我们应
用能量守恒定律解决生活中的一系列问题的方法我们称之为能量(energymethod)。固体力学中的能量法就是把和功、能等概念相关的理论和方法组合在一起，它是一种同静力学方法等价的办法。本章主要介绍了在势能驻值原理的基础上, 运用能量法依据变截面压杆随着截面的变化规律推导出了变截面压杆稳定临界力的适用计算公式。
3.2 计算理论及方法
为了计算方便简洁，本章以两端铰支的变截面中心受压直杆为计算模型。 图（3-2）所示的变截面压杆其任意高度截面处的惯性矩将表示为 ：
xx I(x)=I0[a()2+b+c]
ll （3-1）
式中, 该变截面压杆底部截面的惯性矩是I0,a,b,c是与截面变化规律相关的系数。
变截面压杆 （3-2） 将任意高度截面处该压杆受自重产生的轴向压力表示如下
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xx W(x)=y[d()2+e+f]
ll (3-3)
式中,g为该压杆材料的容重,d,e,f为有关计算参数。 根据位移边界条件,假定压杆的变形曲线为
y=l1sinpx3px +l2sinll (3-4)
其中为l1，l2任意参数。 将（3-3）对x求导，得到
y,=pl(l1cospxl+3l2cos3px) l （3-5）
y=,,p2l2(l1sinpxl+9l2sin3px) l (3-6)
根据能量原理,体系的应变能为：
U=12ò10EI(x)y,,2dx (3-7)
式中E为该压杆的弹性模量，将式（3-1）和（3-5）代入式（3-6）中，得到
11x2xp2px3px2U=EI0ò[a()]+b+c][-2(l1sin+9l2sin)]dx (3-8)
02lllll整理公式（3-7）得到
2l3荷载势能为
Up=U=p4EI011bc27al1l1111{[-4)a++]l12++81[(-)a+b+c]l22 (3-9) 2264p428p636p4211[Fp+W(x)]y,2dx (3-10) ò20将公式（3-2）和公式（3-4）带入公式（3-9），得到
p21xxppx3px2Up=2ò{Fp+g[d()2+e+f]}[(l1cos+3l2cos)]dx (3-11)
8l0lllll整理公式（3-10）得到
p2Fpp2g11119111122Up=(l1+9l2)-{[d(+2)+e+f]l12+2dl1l2+9[d(+)+e+f]l2}
4l2l64p424p636p242
（3-12）
如此体系的总势能是
Ep=U+Up (3-13)
将公式（3-8）和公式（3-11）代入公式（3-12）中可以得到
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变截面压杆稳定临界力分析
1bc227al1l211bc2{[-)a++]l1++81[(-)a++]l2} 32222l64p428p636p4222pFp2pg1111911112-(l1+9l22)-{[d(+2)+e+f]l12+2dl1l2+9[d(+)+e+f]l2}
4l2l64p424p636p242 (3-14) 根据势能驻值条件有 Ep=
p4EI01ì?? í????Ep=0?l1 (3-15)
?Ep=0?l2将公式(3-13)代入公式(3-14)得到
ì2pEI011b11e27EI0a9d?{2[(-2)a++c]-g[(+2)d++f]-Fp}l1+(-2)l2=0?l32p232p28l24pí81p2EI011b11e?27EI0a9d(-)l1+{[(-)a++c]-9g[(+)d++f]-9Fp}l2=022222?8l4pl318p2318p2? (3-16) 公式（3-15）是关于任意参数l1,l2的线性齐次方程组，而参数l1,l2不能全部为0。所以方程组的系数行列式应等于0。 即
p2EI011b11e27EI0a9d[(-)a++c]-g[(+)d++f]-Fp-22222l32p232p28l4p
227EI0a9d81pEI011b11e-[(-)a++c]-9g[(+)d++f]-9Fp222228l4pl318p2318p2 （3-17） 该行列式的展开式为关于 FP 的二次代数方程,令
1b11e[(-)a++c]-g[(+)d++f] （3-18） 222l32p232p227EI0a9d z2=-2 （3-19） 28l4p281pEI011b11e z3=[(-)a++c]-9g[(+)d++f]-9Fp （3-20） 222l318p2318p2将公式(3-16)、公式(3-17)和公式(3-18)代入公式(2-15)的展开式中得到
z1=p2EI01
9Fp2-(9z1+z3)Fp+z1z3-z22=0 （3-21）
公式（3-19）中，其中较小的解即为体系的临界荷载，即
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