Rq??dq???q
r6 －14 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解 由于地球半径R1 ＝6.37×10 m；电离层半径R2 ＝1.00×10 m ＋R1 ＝6.47 ×10 m，根据球形电容器的电容公式，可得
6
5
6
C?4πε0R1R2?4.58?10?2R2?R1F
6 －15 两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容． 解 由教材第六章6 －4 节例3 可知两输电线的电势差
U?因此，输电线单位长度的电容
λd?R lnπε0Rλd?Rd?πε0/ln?πε0/ln URR代入数据 C?5.52?10?12F
C?6 －16 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底 板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm ，两金属片之间的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？
2
解 按下按键时电容的变化量为
?11?ΔC?ε0S???
?dd0?按键按下的最小距离为
2ΔCd0minΔdmin?d0?d??0.152mm
d0ΔC?ε0S6 －17 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1 的长直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ ≈1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1 表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极间电势差的关系式；（2） 若E1 ＝2.0 ×10 V· m ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm，两极间的电势差为多少？
6
－1
解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得E?2πrL?电场强度
1λL，则两极间的ε0E?λ 2πε0r导线表面（r ＝R1 ）的电场强度
E1?两极间的电势差
λ
2πε0R1λRdr?R1E1ln2 2πε0rR1U??E?dr??R1R2R2R1（2） 当E1?2.0?106V?m?1 ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm 时，
U?2.52?103V
6 －18 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．
解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容
2
C?εrε0S?1.53?10?9F d（2） 电容器加上U ＝12 V 的电压时，极板上的电荷
Q?CU?1.84?10?8C
极板上自由电荷面密度为
ζ0?晶片表面极化电荷密度
Q?1.84?10?8C?m-2 S?1????1??ζ0?1.83?10?4C?m-2 ζ0?εr?（3） 晶片内的电场强度为
E?U?1.2?105V?m-1 d－８
6 －19 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10C，
导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（3） 极化
电荷面密度ζ′．
解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R D1?4πr?0
2D1?0；E1?0
2R ＜r ＜R ＋d D2?4πr?Q
D2?QQ； E?24πr24πε0εrr2QQ； E?3224πr4πε0εrrr ＞R ＋d D3?4πr2?Q
D3?将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外． r1 ＝5 cm，该点在导体球内，则
Dr1?0；Er1?0
r2 ＝15 cm，该点在介质层内，ε
ｒ
＝5.0，则
Dr2?QQ?8?2；?3.5?10C?mE??8.0?102V?m?1 r2224πr24πε0εrr2QQ?8?22?1； ?1.3?10C?mE??1.4?10V?mr2234πr34πε0r2r3 ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则
Dr3?（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r3 ＝25 cm，
V3??E3?dr?r1?Q?360V 4πε0rE3?drr2 ＝15 cm，
V2???R?dr2E2?dr???R?dQQQ??
4πε0εrr24πε0εr?R?d?4πε0?R?d??480Vr1 ＝5 cm，
V1???R?dRE2?dr???R?dE3?drQQQ ??4πε0εrR4πε0εr?R?d?4πε0?R?d??540V（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε ＝ε0 ，极化电荷可忽略．故在介质外表面；
Pn??εr?1?ε0En?ζ?Pn?在介质内表面：
?εr?1?Q24πεr?R?d??εr?1?Q
24πεr?R?d??1.6?10?8C?m?2
Pn??εr?1?ε0En?ζ???Pn?4πεrR2?εr?1?Q
4πεrR2?εr?1?Q??6.4?10?8C?m?2
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总