信号与系统实验指导书
四、思考：
1、为什么图二中t=0处曲线是间断的，如何使其成为连续的曲线？ 2、代数运算符号*和.*的区别是？
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实验二 连续时间信号的卷积
一、实验目的：
1、掌握两个连续时间信号卷积的计算方法和编程技术。 2、进一步熟悉用MATLAB描绘二维图像的方法。 二、实验原理：
卷积积分在信号与线性系统分析中具有非常重要的意义，是信号与系统分析的基本方法之一。
（一）卷积的定义
连续时间信号 f1(t)和 f2(t)的卷积积分（简称为卷积）f(t)定义为：
f(t)?f1(t)*f2(t)??f1(?)f2(t??)d?
???（二）线性时不变（LTI）系统的单位冲激响应
给定一个连续时间LTI系统，在系统的初始条件为零时，用单位冲激信号?(t)作用于系统，此时系统的响应信号称为系统的单位冲激响应（Unit impulse response），一般用h(t)来表示。需要强调的是，系统的单位冲激响应是在激励信号为? (t)时的零状态响应（Zero-state response）。
系统的单位冲激响应是一个非常重要的概念，如果已知一个系统的单位冲激响应，那么，该系统对任意输入信号的响应信号都可以求得。
（三）卷积的意义
对于LTI系统，根据系统的线性和时不变性以及信号可以分解成单位冲激函数可得，任意LTI系统可以完全由它的单位冲激响应h(t)来确定，系统的输入信号x(t)和输出信号y(t)之间的关系可以用卷积运算来描述，即：
y(t)??x(?)h(t??)d?
???由于系统的单位冲激响应是零状态响应，故按照上式求得的系统响应也是零状态响应。它是描述连续时间系统输入输出关系的一个重要表达式。
（四）函数说明
利用MATLAB的内部函数conv( )可以很容易地完成两个信号的卷积积分运算。其语法为：y = conv(x,h)。其中x和h分别是两个参与卷积运算的信号，y为卷积结果。
为了正确地运用这个函数计算卷积，这里对conv(x,h)做一个详细说明。conv(x,h)函数实际上是完成两个多项式的乘法运算。例如，两个多项式p1和p2分别为：
p1?s3?2s2?3s?4 和 p2?4s3?3s2?2s?1
这两个多项式在MATLAB中是用它们的系数构成一个行向量来表示的，用x来表示多项式p1，h表示多项式p2，则x和h分别为
x = [1 2 3 4] h = [4 3 2 1] 在MATLAB命令窗口依次键入
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>> x = [1 2 3 4]; >> h = [4 3 2 1]; >> y=conv(x,h)
在屏幕上得到显示结果：
y = 4 11 20 30 20 11 4 这表明，多项式p1和p2的乘积为：
p3?4s6?11s5?20s4?30s3?20s2?11s?4
用MATLAB处理连续时间信号时，时间变量t的变化步长应该很小，假定用符号dt表示时间变化步长，那么，用函数conv( )作两个信号的卷积积分时，应该在这个函数之前乘以时间步长方能得到正确的结果。也就是说，正确的语句形式应为：y = dt*conv(x,h)。
对于定义在不同时间段的两个时限信号x(t)，t1 ≤ t ≤ t2，和h(t)，t3 ≤ t ≤ t4。 如果用y(t)来表示它们的卷积结果，则y(t)的持续时间范围应为t0+t2 ≤ t ≤ t1+t3，这个结论很重要。在处理卷积结果的时间范围时，要利用这个结论，将结果的函数值与时间轴的位置和长度关系保持一致。
另，用函数conv( )计算得到的卷积结果的长度为参与卷积的两函数长度之和减1。 可参考以下程序得到卷积结果的时间变量：
%计算卷积结果的非零样值的起点位置， %k1，k2分别为参与卷积的两函数的时间向量 k0=k1(1)+k2(1);
%计算卷积结果的非零样值的宽度 k3=length(f);
%确定卷积结果的非零样值的时间向量 k=k0:p:k0+(k3-1)*p;
有时候，参与卷积运算的两个函数，可能有一个或者两个都很长，甚至是无限长，MATLAB处理这样的函数时，总是把它看作是一个有限长序列，具体长度由编程者确定。实际上，在信号与系统分析中所遇到的无限函数，通常都是满足绝对可积条件的信号，因此，对信号采取这种截断处理尽管存在误差，但是通过选择合理的信号长度，能够将误差减小到可以接受的程度。 三、实验内容：
1、已知两连续时间信号如下图所示，绘制信号f1(t)、f2(t)及卷积结果f(t)的波形；设时间变化步长dt分别取为0.5、0.1、0.01，当dt取多少时，程序的计算结果就是连续时间卷积的较好近似？
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1 f1(t) f2(t) 1 -1 1 t 0 2 t
2、计算信号f1(t)?e?atu(t)和f2(t)?sintu(t)的卷积f(t)， f1(t)、f2(t)的时间范围取为0~5，步长值取为0.1。绘制三个信号的波形。
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实验三 连续时间周期信号的傅里叶级数
一、实验目的：
1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法。
2、观察由矩形窗函数截断产生的Gibbs现象，了解其特点、产生的原因及消除的方法。 3、掌握周期函数的傅里叶级数计算方法和编程技术。 二、实验原理：
（一）傅里叶级数（FS）展开
周期为T1连续时间周期信号，若满足狄利克莱条件，就可以展开成FS。其中三角形式的傅里叶级数为：
a0?a0?2?2?x(t)???[akcosk?1t?bksink?1t] ???[akcoskt?bksinkt] (1)
2k?12k?1T1T12?，称为信号的基本频率（Fundamental frequency），a0，ak，和bk分别T1是信号x(t)的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度。其中：
2t0?T12t0?T1ak??x(t)cosk?1tdt bk??x(t)sink?1tdt (2)
ttT10T10连续时间周期信号x(t)的幅度频谱与相位频谱分别为
Ak?ak2?bk2 ?k?arctanbk (3)
其中?1?ak其中k与频率的关系为??k?1，因此上式给出了信号基波与各次谐波幅度随频率变化的规律。
三角形式的傅里叶级数表明，一个周期信号x(t) 如果满足狄里克莱条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量，其幅度为Ak。反过来理解三角傅里叶级数：用无穷多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 （二）吉布斯（Gibbs）现象
当利用(1)式对一个周期函数作实际展开运算时，对k的求和过程不可能进行到无穷，只能到某一有限值K，即相当于在频域用一个矩形窗函数WK(k)与FS的求和式相乘，得到一个频域有限长序列X(k)?WK(k)，因此实际FS展开式为
a0?x(t)???[akcosk?1t?bksink?1t]WK(k)
2k?1a0K ? ??[akcoks?1t?bksink?1t] (4)
2k?1K越大，所选项数越多，有限项级数合成的结果越逼近原信号x(t)。截断引起信号失真，这是由于高频部分信号的损失。这就导致在构成有跃变的连续时间周期函数时，在跃变点的附近存在一个幅度大约为9%的过冲，且所选谐波次数越多，过冲点越向不连续点靠近。这种现象称为Gibbs现象，或称为震铃(ringing)效应。
若在计算机上编程对周期函数x(t)进行FS展开，必须对函数x(t)作等间距抽样。
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