信号与系统实验指导书
若抽样周期为Ts，且令T1?NTs，则??k?1?k2?，（1）式离散化为
NTsx(nTs)?x(t)t?nTsa0?2?2????[akcosnk?bksinnk] (5) 2k?1NN时间抽样后，（4）式离散化为
a0K x(n)???[akcos2?nk?bksin2?nk] (6)
2k?1NN将上式与(4)式比较可见，实际的FS展开式x(n)与x(nTs)之间的误差为 ?2?2??(n,K)??[akcosnk?bksinnk] (7)
k?KNN上式表明，实际展开后的误差是时间n（t = nTs）和截断频率K（?c?K?1）的函数。
图3-1给出了一个方波信号展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生的Gibbs现象，而且不连续的跃变点也扩展成了有一定上升时间的连续函数。
图3-1 方波展开成有限长FS后，在跃变点的附近产生Gibbs现象
为了消除这种频域截断形成的Gibbs现象，通常不采用矩形窗作截断处理，而是采用汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗或三角窗等进行加权计算。
1、以0点为中心的Hanning窗（也称为升余弦窗）定义为
2?k?1) k?K/2 (8) ?(1?cosw(k)??2 K??0 otherwise2、以0点为中心的Hamming窗定义为
2?k? k?K/2 (9) ?0.54?0.46cosw(k)?? K??0 otherwise3、以0点为中心的三角窗（Bartlett窗）定义为
?2k k?K/2 (10) ?1?w(k)?? K?0 otherwise?图3-2中列出了矩形窗、三角窗、Hanning窗和Hamming窗的图像，可以比较它们的差异和类同之处。
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w(k) w(k) 1 1
-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2
(a) 矩形窗 (b) 三角窗
w(k) w(k) 1 1
-K/2 0 K/2 -K/2 0 K/2 (c) Hanning窗 (d) Hamming窗
图 3-2 几种加权窗函数的比较
例如图3-1中的方波信号展开式用Hanning窗加权截断后，图像如图3-3所示，显然Gibbs现象已经基本消除。
x(t) 1 -2 -1 0 1 2 t 图 3-4 奇谐方波
图 3-3 用Hanning窗加权后方波FS的跃变点附近的Gibbs现象的消除
采用频域Hanning窗加权或Hamming窗加权的方法进行截断，与矩形截断相比，可以减弱或消除Gibbs现象，但不会减小由于频域截断产生的误差，反而因加权导致所截取区域内频谱发生变化，增大了误差。 三、实验内容：
1、将如图3-4所示的奇谐周期方波信号展开成Fourier级数并分别采用频域矩形窗和Hanning窗加权，绘制两种窗函数加权后的方波合成图像。该方波信号的周期为T1=1，振动幅度为A=1。抽样周期选为Ts?0.004。
提示：由于该信号是奇谐对称周期函数，展开式中将只有正弦函数的奇次谐波，即
x(n)?kk?1,3,5,??b?sin2?knWK(k) N其中N?T1，系数bk由(2)式得
Ts bk?4T1?T1/20x(t)sin2?k4tdt? k?1,3,5,? T1?k采用Hanning窗加权，则展开式变为
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x(n)?2?(2k?1)42(2k?1)?[0.5?0.5cos]sinn
(2k?1)?KNk?0?K2、将图3-5中的锯齿波展开为Fourier级数，按(2)式求出Fourier级数的系数，并在频域分别采用矩形窗、Hanning窗和三角窗加权，观察其Gibbs效应及其消除情况。
x(t) 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 t 图 3-5 锯齿波
3、选做：编程计算连续时间周期信号的三角形式傅里叶级数展开的系数。
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实验四 连续时间系统的时域分析
一、实验目的：
1、熟悉连续时间系统的线性和时不变性质。 2、掌握线性时不变系统的单位冲激响应的概念。
3、掌握线性时不变系统的微分方程描述方法及其MATLAB编程的求解方法。 二、实验原理：
（一）线性时不变（LTI）系统
在分析连续时间系统时，有关系统的两个重要的性质就是线性（Linearity）和时不变性（Time-invariance）。所谓线性是指系统同时满足齐次性和可加性。这可以用下面的方法来描述。
假设系统在输入信号x1(t)时的响应为y1(t)，在输入信号x2(t)时的响应信号为y2(t)，给定两个常数a和b，如果当输入信号为x(t)时系统的响应信号为y(t)，且满足
x(t) = x1(t) + x2(t) (a) y(t) = y1(t) + y2(t) (b)
则该系统具有可加性（Additivity）。如果满足
x(t) = ax1(t) (a) y(t) = ay1(t) (b)
则该系统具有齐次性（Homogeneity）。如果系统同时具有可加性和齐次性则系统是线性。
假设系统在输入信号x(t)时的响应为y(t)，对一个给定时间常数t0，如果当输入信号为x(t-t0)时，系统的响应为y(t-t0)的话，则该系统具有时不变性。
同时具有线性和时不变性的系统，叫做线性时不变系统，简称LTI系统。 （二）LTI系统的微分方程描述
线性常系数微分方程是描述LTI系统的一种时域模型。一个连续时间LTI系统，它的输入信号x(t)和输出信号y(t)的关系可以用下面的微分方程来表达。
Ndky(t)Mdkx(t)ak??bk （1） ?kkdtdtk?0k?0在MATLAB中，我们可用向量a=[aN，aN-1，??a1，a0]和b=[bN，bN-1，??b1，b0] 来表示该系统，其中a和b分别为（1）式中方程左右两端的系数向量。
注意，向量 a 和 b 的元素一定要以微分方程中时间求导的降幂次序来排列， 且缺项要用 0 来补齐。
例如，对微分方程 y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x’’(t)+x(t)，则表示该系统的对应向量应为a=[1 3 2]，b=[1 0 1]。
（1）式描述了LTI系统输入信号和输出信号的一种隐性关系，式中，max (N, M)定义为系统的阶。为了求得系统响应信号的显式表达式，必须求解微分方程。
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MATLAB的内部函数impulse( )，step( )，initial( )，lsim( ) 可以用来计算并绘制连续时间LTI系统的单位冲激响应，单位阶跃响应，零输入响应和任意信号作用于系统的零状态响应。
1、impulse( )函数
该函数有如下几种调用格式：
（1）impulse(b,a)：该调用格式以默认方式绘出向量 a 和 b 定义的连续系统的单位冲激响应的时域波形。
（2）impulse(b,a,t)：绘出系统在 0～t 时间范围内冲激响应的时域波形。 （3）impulse(b,a,t1:p:t2)：绘出在 t1~t2 时间范围内，以p为步长的单位冲激响应波形。
（4）y=impulse(b,a,t)：不绘出波形，而是求出系统冲激响应的数值解。y的点数默认值为101点，由此可得时间步长为p = t/(101-1)。
（4）y=impulse(b,a,t1:p:t2)： 计算在t1~t2 时间范围内，以p为步长的单位冲激响应的数值。
2、 step( )函数
该函数和 impulse( )函数的调用方法一样。 3、lsim( )函数
带返回值的形式如y = lsim(b, a, x, t)用来计算由a和b表示的LTI系统在输入信号x作用下的零状态响应。其中t为指定的时间变化范围，x为输入信号，它们的长度应该是相同的。如带返回参数y，则将计算的响应信号保存在y中，若不带返回参数y，则直接在屏幕上绘制输入信号x和响应信号的波形。 三、实验内容：
已知描述某连续系统的微分方程为：
d2y(t)dy(t)4??6y(t)?x(t)
dtdt21、求出该系统在 0～30 秒范围内，以时间间隔 0.1 秒取样的单位冲激响应和单位阶跃响应的数值解，并绘制时域波形；
2、计算并绘制该系统在输入信号为x(t) = (e-2t - e-3t)u(t)时的零状态响应。
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