2014二元一次方程组寒假作业
一、知识点归纳及解题技巧
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 求方程组的解的过程，叫做解方程组。 解方程的依据——等式的基本性质
1．a=b←→a±c=b±c （等式两边同加同减） 2．a=b←→ac=bc (c≠0)
a=b←→a/c=b/c (c≠0) （等式两边同乘同除）
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 基本思想：“消元”
消元的方法有两种：代入消元法 加减消元法
1、代入消元法
例：解方程组x+y=5…………① （有一个方程①的系数为1，用代入法）
6x+13y=89……②
解：由①得 x=5-y……③ 把③带入②，得 6(5-y)+13y=89
y=59/7
把y=59/7带入③，得 x=5-59/7 即x=-24/7 ∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
1
2、加减消元法
例：解方程组x+y=9……① (y的系数相同，且异号，用加，消去y)
x-y=5……②
解：①+② 得 2x=14
即 x=7 把x=7带入①
得7+y=9 解得y=-2 ∴ x=7
y=-2 为方程组的解
这种通过加减消去一个未知数，求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。注意：是用代入消元法还是用加减消元法，要看未知数的系数。
例如：（1）解二元一次方程组 3x+4y=17……①
4x+4y=20 ……②
分析：(y的系数相同，应该用加减消元法，且同号，用减，先消去y)
解：①-② 得 x=3 将x=3 代入① 得
9+4y=17 4y=17-9 y=2
所以，方程组的解是：x=3 Y=2
(2)、解方程组 31x+y=3 ……① (x的系数相同，且同号，用减，先消去x)
31x-y= -1 ……②
解：① — ② 得 2y=4 y=2
将 y=2 代入① 得 31x+2=3 31x=1 x=1／31 所以，方程组的解是 x=1／31 y=2 （3）、解方程组 3x+2y=6 ……① 2x+3y=1……②
分析：(x y的系数不同，但存在一定关系，可以变换形式，先乘，后加减) 解：①×3 得 9x+6y=18……③ ②×2 得 4x+6y=2 ……④
③—④ 得 5x=16 x=16／5
将x=16／5 代入① 得 3×16／5+2y=6
2y=6—48／5 2y= —18／5 y= —9／5 所以，方程组的解是 x=16／5 y= —9／5
2
【典例分析】
例1 用加减法解方程组x+2y=9……① 3x-2y=-1……②
思路分析：用加减法解二元一次方程组时，必须使方程组中①②两方程所含同一个未知数的系数相同或互为相反数．现在该方程组不具备这个条件，所以我们要想办法转化成这样的条件．方法一：观察x的系数：②中x的系数是①中的3倍，?所以可得①×3，使x的系数相等，然后减去②，可消去x；方程二：观察y的系数：①中y?的系数是②中的2倍，所以可将②×2，便y的系数互为相反数，再与①相加可消去y，两种方法皆可达到消元的目的． 解：②×2，得6x-2y=-2 ③ ③+①得，7x=7,x=1
把x=1代入①，得1+2y=9，2y=8，y=4
?x?1 所以?是原方程组的解．
y?4? 方法点拨：用加减法解二元一次方程组时应当注意：
①当方程组比较复杂时，应先化简，如去分母、去括号、合并同类项等，将两方程化成ax+by=c的形式； 也就是要注意方程的变形。
②当需将一未知数的系数扩大时，要根据等式的性质，一定要两边同乘以某一个倍数； ③在求出一未知数的值之后，可以将它代入化简后的方程组的任意一个方程中，求出第二个未知数的值；
④要想知道解是否正确，可将求得的解代入原方程组的两个方程加以检验． 例2 选择适合的方法解下列方程组：
（1）x+2(x+2y)=4 ……① (2)3x+7y=9 ……① (3) x : y = 2 : 5 ……①
x+2y=2 ……② 4x-7y=5 ……② 500x+250y=22 500 000……② 思路分析：
（1）方程组中，方程①中含有（x+2y），因此，只需将方程②x+2y=2?整体代入①即可化“二元”为“一元”．
（2）方程组里两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此只要两方程相加即可化“二元”为“一元”．
2（3）方程组中的第1个方程中两个未知数之间是比值关系，可化成x=y，然后代入②，
5用代入法求解；?还可设x=2a，y=5a，将x=2a，y=5a代入②中，求得a的值，然后再分别代入x=2a，y=5a中，?求得x、y的值，这样求解，可避免分数．
解：
（1）把②代入①得x+2×2=4，解之，得x=0 把x=0代入②，得2y=2，解之，得y=1
?x?0 所以原方程组的解是?
y?1? （2）①+②，得7x=14，解之，得x=2 把x=2代入②得，8-7y=5，解之，得y=
3 7?x?2? 所以原方程组的解是?3．
y??7? （3）设x=2a，y=5a，并把它们代入②，得500×2a+250×5a=22 500 000
3
解之，得a=10 000，
把a=10000分别代入x=2a，y=5a中，得x=20 000，y=50 000
?x?20000 所以原方程组的解是?．
?y?50000例3、解方程组 x+y=360 ………… ①
112％x+110％y=400 ……②
由①式×110% 得：110%x+110%y=360×110% 即 1.1x+1.12x=396……③
②式也就是 1.2x+1.1x=400
③－②式1.1x-1.12x=396-400 -0.02x=-4
解得：x=200 代入①式得：200+y=360 y=160 所以原方程组的解是x=200 Y=160
方法点拨：代入法和加减法是解二元一次方程组的基本方法．以后解这种类型的题时，如果没有提出具体要求，应根据方程组的特点，?选择其中一种比较简单的方法．选用解法时，一般是当其中某个未知数的系数为1（更特别的，像x=?）时，?选用代入法较为简便；当两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，选用加减法比较简便；其他情况，自己灵活运用．
3、加减——代入 混合使用的方法.
例1, 13x+14y=41…… (1)
14x+13y=40 ……(2)
解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1…… (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41 27y=54 y=2
把y=2代入(3)得 x=1 所以: x=1,
y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
4、换元法
例2， (x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4 解：令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8
m-n=4 解得m=6,
n=2
4
所以x+5=6,
y-4=2 所以x=1,
y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解
如方程组x+y=5…………①
6x+13y=89……② x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
2.有无数组解
如方程组x+y=6…… ①
2x+2y=12……②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所
以此类方程组有无数组解。
3.无解
如方程组x+y=4…… ①
2x+2y=10……②
因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
二元一次方程组解法练习题精选
一．解答题（共16小题） 1．求适合
2．解下列方程组 （1）
5
的x，y的值．
（2）