第三章 矩阵力学基础(?)――力学量和算符
一、概念与名词解释
1. 希尔伯特空间
2. 希尔伯特空间中矢量的内积
3. 转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符、幺正算符 4. 不确定性定理 5. 维里定理
二、计算
?,?]，其中μ、ν =x,y,z. 1. 计算对易关系[L????B?)?1按λ的幂展开式. 2. 设λ是一个小量，求算符(A??13. 求在x表象中的算符??p?x????1?.以及在px表象中的算符??. ??x????4. 利用不确定性原理估算氢原子基态能量.
?Axe??x(x?0)2
5. 一维运动的粒子处在?(x)??(??0),求<(Δx)>，
(x?0)?0<(Δp)2>.
6. 粒子处在Ylm态，求： (1) Lx和Ly的平均值
8. 设体系处于φ=C1Y11+C2Y10态，且|C1|2+|C2|2=1，求：
?的可能值和平均值； (1) 力学量Lz?1计算<(Δx)2>·<(Δp)2>，其exp(-?2x2)，
2??2的本征值； (2) 力学量L(3) 力学量Lx和Ly的可能值.
9. 设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量L2得到的值是6?2，测量力学量Lz得到的值是- ?，求测量Lx和Ly可能得到的值.
??(L?2?L?2)/2I?L?2/2I,求其能量本征值. 10. 设体系的哈密顿算符为Hxy1z2?为任意算符. ?的本征态中，对易子[H?]的平均值.A?,A11. 求在H12. 在t=0时氢原子的波函数为?(r,0)?[2?100??210?2?211?3?21-1] (1) 求体系能量的平均值；
(2) 求在t时刻体系处在l=1,m=1态的概率； (3) 求在t=0时，电子处在d=10-10cm范围内的概率；
(4) 假定做一次测量后发现L2=2?2，Lx= ?，求测量后的瞬间体系的波函数.
13. 一电子处在一维谐振子的基态，使得[x-?x?]2?10-10m,求激发该电子到第一激发态所需的能量.
?四、证明
?B??1，求证： ?、B??B?A?满足A1. 若算符A?B??2B?B??3B?2?B?2A?, A?3?B?3A?2 (1) A?B??nB?n?B?nA?n?1 (2) 用数学归纳法证明：A?、B?满足对易关系式[A?,[A?,B?]]?0，求证： 2. 若算符A?)B?)?B?,B?exp(??A???[A?]. exp(?A??L?2/(2?n/(n!)??，3. 若算符eL满足eL?1?L直接通过对易关系证！)???L???,a?,[L?,a?,[L?,[L?,a??[L?]?[L?]]/(2!)?[L?]]]/(3!)?? 明：eLae?L?a??4. 设[x,p]=i?，f(x)是x的可微函数，证明：
(1) [x,p2f(x)]?2i?pf ; (2) [x,pf(x)p]?i?(fp?pf) ;(3) [x,f(x)p2]?2i?fp ; (4) [p,p2f(x)]? -i?p2f ' ;(5) [p,pf(x)p]? -i?pf 'p ; (6) [p,fp2]? -i? f 'p2.
5. 证明：
???????????????2i?p???;L?r?r?L?2i?r;L?p?p?L???????22??Lx?xL?i?[(r?L)?(Lr)];???????p22????)].Lpx?pxL?i?[(p?L)x?(Lxxx
??是粒子的角动量，F是另一力学量，证明： 6. L???,F]??i?(?r??rF??pF?p). [L7. 设f(r)是只与空间坐标有关的力学量，证明：[f,[?2,f]]??2(?f)2
???A(P?nxm?xmP?n)/2,(An,m为实数)是厄米算符. 8. 证明算符On,mn,m?0???是幺正算符.证明??(U??U??)/2;B??(U??U??)/2i,式中算符U9. 定义算符A?、B?皆为厄米算符，并且满足A?2?B?,B?2?1;[A?]?0. A10. 证明：
???i?/2； (1) 在任意一维归一化的实束缚态φn(x)上，?xp?的本征值为En、(2) 若哈密顿算符H本征矢φn(x)为实的束缚态，则有
?(En?Ek)xnk??2/2?.
n2?的本征解为En和?(r)，对任意的线性厄米算符11. 设哈密顿算符Hn??]?(??，证明下式成立：d??*(??,Ar)[HAnr)?0 ?n?的本征态下，
??任意方向单位矢量.
13. 证明空间转动不变性对应角动量守恒.
?与哈密顿算符H?皆不显含时间，试证 14. 若算符Ad2?,H?],H?]? -?2?A???[[Adt215. 证明
d1?x?p?xx)? ?x2???(xpdt??、B?为守恒量，证明他们的对易子[A?,B?]也是守恒量. 16. 若算符A17. 粒子处于宽度为a的一维非对称无限深方势阱中，在其第n个本
征态下，证明?(x-?x?)2??a2(1-6/n2?2)/12
五、综合题
1. 质量为m的自由粒子作一维运动.在t=0时的归一化波函数是高斯
?1x21波包，满足?(x,0,?x?)?exp?-2(2??x2?)1/4?4?x2? ???(1) 求?(?p)2?1/2??p2?-?p?2；
(2) 证明在t>0时，粒子的概率密度满足
?(x,t)??(x,0,?x2???(?p2)?t2/m2)
22(3) 用不确定性原理解释(1)和(2)的结果.
2. 考虑一质量为m的粒子在一维势场U(x)=U0(x/a)2n中运动，其中n是正整数，U0>0，定性讨论能量本征值的分布和相应的本征函数的宇称.用不确定性原理估计基态能量的数量级，并讨论n=1和n→∞两种特殊情况.
3. 在t=0时，处在谐振子势U=kx2/2中的一粒子的波函数是
?(x,0)?Ae-(?x)2/2?cos?H(?x)?sin?H(?x)/22?
02其中β和A是实常数，?2?mk/?2,且厄米多项式归一化条件是
??-?e-?2x2[Hn(?x)]dx??2n?n!/2
2(1) 写出φ(x,t)；
(2) 求在φ(x,t)态中测量粒子的能量的可能值和相对概率； (3) 求t=0时的
4. 考虑一维对称势阱中的粒子，熟知，在这种情形下至少有一个能级.现在在给定势阱深度U0的情况下，减少势阱宽度a是使满足不等式a2<
5. 一粒子的波函数是φ=k(x+y+2z)e-αr，式中r?x2?y2?z2,k和α是实常数，求：
(1) 粒子的角动量是多少？ (2) 角动量z分量的平均值；
(3) 若角动量的z分量Lz被测量，问测得Lz=+ ?的概率是多少？ (4) 发现粒子在θ,φ方向上dΩ立体角内的概率是多少？θ,φ是通常球坐标中的方向角.
六、思考题
1. 量力力学参量与经典物理的力学量有何区别?
2. 经典物理中的理论力学、电动力学、统计力学有哪些主要物理量？
?，p?，i?3. 量子力学的算符概念和H?首先是谁引进的？ ?t