解：图(a)第一个环节
s?11)，即分解为两个通道，如图(b)左侧可以分解为(1?s?2s?2点划线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图(b)右侧双点划
线所框部分。进一步，我们可以得到图(c)所示的由标准积分器组成的等效结构图。依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量x1,x2,x3,x4，由图(c)可得系统状态方程：
???8x1?x2?x1?x???64x?x?213? ?x??3x?x?x?u??x?3x?x?u3341134?????2x4?x1?u??x1?2x4?u?x4由图可知，系统输出y?x1 写成矢量形式，得到系统动态方程：
???8???64??x?????1?????1???y??10100000??0??0?10??x???u?1? ?3?1????0?2??1?0?x0
2、根据物理定律建立实际系统的动态方程
一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。
【例2.2.4】RLC电路如图所示. 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为uc(t)。建立系统的动态方程。
L u(t) i R C uc(t)
2-6
解：
该RLC电路有两个独立的储能元件L和C，设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程： Ldi(t)1??i(t)dt?R.i(t)?u(t) dtC1 uc(t)??i(t)dt
C（1）我们可以取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t)作为系统的两个状态变量，分别记作x1?i和x2?uc。
R11?dx1??L?x?Rx?ux??x?x?u2112?dt?1LLL 整理有??dx11?2?x1?x2??x1C??dtCy?x2
写成向量矩阵形式为：
?1??R???1???x1???Lx???1L??L?u?????1?????????x2?x2??0?0?? ??C???y??01??x1??x???2??（2）设状态变量x1?i，x2?idt
??dx11R11??Ldt?Cx2?Rx1?u???x1??x1x2?u 整理有??dxLLCL
??x1??2?x1?x2?dt1y?uc?x2
C写成向量矩阵形式为：
?x?1??x??1??R????11??????L?uLLC???????1??x2??x2??0?0?? ????1??x1??y?0??C??x????2??
2-7
11idt?Rix?idt?uc ，2C?C?di(t)11??i(t)dt?R.i(t)?u(t)， uc(t)??i(t)dt LdtCC（3）设状态变量x1?1111??1x?i??(x?x)?x?x2121?2CCRRCRC?di111???x?2?R?x1?x2?R?(u?uc?Ri)整理有：?x1
dtRCRCL?11R1R1R??x?x?(u?x)?(?)x?x?u12112?RCRCLRCLRCL?y?x2
写成向量矩阵形式为：
?R?1???x1???RCL?????1?????x2??RC??y??01??x1??x???2??1??R?x???1RC??L?u?1?????x2????0?
RC??
注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，并且各状态空间表达式之间存在着某种线性关系。
3、由系统的微分方程建立状态空间表达式
从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为“实现问题”。关于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。
注意：实现是非唯一的。
（1）输入量中不含导数项
SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为：
第一步：选择状态变量（选择n个状态变量x1,x2,??,xn），令：
2-8
x1?yx2?y? x3?y???xn?y(n?1)第二步：化高阶微分方程为x1,x2,??,xn的一阶微分方程组。
??x2?x1?x??x23???? ?x??xn?n?1???a0x1?a1x2????an?1xn??0u??xn
y?x1
?x??Ax?bu第三步：将方程组表示为向量—矩阵形式：?
y?cx?
?0?0?其中：A?????0???a0
10?0?a101?0?a20??0???? b???1???an?1????0??0?????? c??100?0? ???0????0??注 意：矩阵A为友矩阵。友矩阵的特点：主对角线上方元素为1，最后一行的元素可以任意取，而其余的元素均为零。
系统结构图
【例2.2.5】已知y????6y???41y??7y?6u，试列写动态方程。
2-9
解：选状态变量 x1?y，x2?y?，x3?y??
?x1??x2状态方程：??x??x?23 ?x?3??7x1?41x2?6x3?6u输出方程：y?x1 状态空间表达式为：??x??Ax?bu?cx
?y?010? 其中：A???001??0?， b??0?， c??100?
?41?6?????7?????6??
【例2.2.6】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。
解：G(s)?Y(s)2U(s)?s2?s?2 故微分方程为：y???y??2y?2u 选状态变量 x1?y，x2?y?
状态方程：??x1??x2?x?2??2x1?x
2?2u输出方程：y?x1
2-10