高考专题训练四 导数与积分的概念及运算、导数的应用
班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·全国)曲线y＝e的面积为( )
1
A. 32C. 3解析：
1B. 2D．1
－2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形
y′＝－2e
－2x
，y′|x＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y－2＝－2x，即2x＋y－2＝0
??y＝x由?
?2x＋y－2＝0?
2x＝??3得?2
y＝??3
?22?，A?，?，
?33?
121S△ABO＝·＝.
233答案：A
2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
1
C．(－∞，－1)
解析：f(x)>2x＋4，即f(x)－2x－4>0.
D．(－∞，＋∞)
构造F(x)＝f(x)－2x－4，F′(x)＝f′(x)－2>0.
F(x)在R上为增函数，而F(－1)＝f(－1)－2x(－1)－4＝0.x∈(－1，＋∞)，F(x)>F(－1)，∴x>－1.
答案：B
3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a＝?π(sinx＋cosx)dx，则(ax－
1x
?0
)的
6
二项展开式中含x的系数是( )
A．192 C．96
B．－192 D．－96
π
2
解析：因为a＝?π(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 0＝
?0
(－cosπ＋sinπ)－(－cos0＋sin0)＝2，所以(ax－
1
)＝
x
6
r?2x－1?6rr6－r6－rrr6－r3－r
??，则可知其通项Tr＋1＝(－1)C62x2－2＝(－1)C62x，令3－r＝2
x??
?r＝1，所以展开式中含x项的系数是(－1)C62
答案：B
13272
4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x－x－x，则f(－a)与f(4)的大小
22关系为( )
A．f(－a)≤f(4) B．f(－a) D．f(－a)与f(4)的大小关系不确定 2222 2 rr6－r ＝(－1)C62 116－1 ＝－192，故答案选B. 1327 解析：∵f(x)＝x－x－x， 22 2 327 ∴f′(x)＝x－2x－. 22 17 由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0得x＝－1或x＝. 23当x<－1时，f(x)为增函数； 7 当－1 37 当x>时，f(x)为增函数， 3 计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a≤0，由图象可知 f(－a)≤f(4)． 答案：A 5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x＋bx－3x＋1(b∈R)在x＝x1和x＝x2(x1>x2)处都取得极值，且x1－x2＝2，则下列说法正确的是( ) A．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极小值 B．f(x)在x＝x1处取极小值，在x＝x2处取极大值 C．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极小值 D．f(x)在x＝x1处取极大值，在x＝x2处取极大值 解析：因为f(x)＝x＋bx－3x＋1，所以f′(x)＝3x＋2bx－3，由题意可知f′(x1)＝0，f′(x2)＝0，即x1，x2为方程3x＋2bx－3＝0的两根，所以x1－x2＝ 22 1 3 2 23 2 2 2 ＋x2 2 －4x1x2 4b＋3632 ＝，由x1－x2＝2，得b＝0.从而f(x)＝x－3x＋1，f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x 3－1)，由于x1>x2，所以x1＝1，x2＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，所以f(x)在x1＝1处取极小值，极小值为f(1)＝－1，在x2＝－1处取极大值，极大值为f(－1)＝3. 答案：B π1＋sinx1 6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x1，x2∈(0，)，x2>x1，y1＝， 2x1 1＋sinx2 y2＝，则( ) x2 A．y1＝y2 B．y1>y2 C．y1 D．y1，y2的大小关系不能确定 1＋sinxxcosx－sinx－1 解析：设f(x)＝，则f′(x)＝ 2 xx 3 ＝ －2x－1π .当x∈(0，)时，x－tanx<0，故f′(x)<0，所以f(x)在(0， 2 π )上是减函数，故由x2>x1得y2 答案：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 7．(2011·广东)函数f(x)＝x－3x＋1在x＝________处取得极小值． 解析：由f′(x)＝3x－6x＝3x(x－2)＝0，解得x1＝0，x2＝2 当x<0时，f′(x)>0，当0 2 8．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{an}的首项为，且a4＝?4(1 3? 1 3 2 2 3 2 ＋2x)dx，则公比等于________． 2243 解析：?4(1＋2x)dx＝(x＋x)|1＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a4＝18＝·q?q＝3. 3? 1 答案：3 9．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x＋2x＋1，若?1f(x)dx＝2f(a)成立， 2 ?-1 则a＝________. 解析：因为?1f(x)dx＝?1 (3x＋2x＋1)dx＝(x＋x＋x)|－1＝4，所以2(3a＋2a＋1) 2 3 2 1 2 ?-1?-1 1 ＝4?a＝－1或a＝. 3 1 答案：－1或 3 12x 10．(2009·山东省高考调研卷)曲线y＝＋2x＋2e，直线x＝1，x＝e和x轴所围成 x的区域的面积是________． 112x2xe2e2xe2e 解析：?e(＋2x＋2e)dx＝?edx＋?e2xdx＋?e2edx＝lnx|1＋x|1＋e|1＝e. ?x?x?? 1 1 1 1 答案：e 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 2e 4 x2 11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)e k (1)求f(x)的单调区间； 1 (2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围． ex 122 解：(1)f′(x)＝(x－k) e k k令f′(x)＝0，得x＝±k 当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) (－x，－k) ＋ －k 0 2－1(－k，k) － k 0 (k，＋∞) ＋ f(x) ↗ 4ke ↘ 0 ↗ 所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)，(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)． 当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) (－∞，k) － k 0 (k，－k) ＋ －k 0 2－1(－k，＋∞) － f(x) ↘ 0 ↗ 4ke ↘ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)，(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)． k+1 11 (2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e k >，所以不会有?x∈(0，＋∞)，f(x)≤ ee4k 当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝ e14k11 所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k<0. eee21?1?故当?x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是?－，0?. e?2? alnxb 12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的 x＋1x 2 2 5