切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
lnxk
(2)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>＋，求k的取值范围．
x－1x
?1＋x－lnx?a???x?b
解：(1)f′(x)＝－2. 2
＋x
1
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
2
??故???
＝1，
1
＝－
2
b＝1，??，即?a1
－b＝－.?2?2
2
解得a＝1，b＝1.
lnx1
(2)由(1)知f(x)＝＋，所以
x＋1x
?lnx＋k?＝1?2lnx＋f(x)－???
?x－1x?1－x2?
考虑函数h(x)＝2lnx＋则h′(x)＝
－
x
22
－
x
2
－
?. ??
－
x
＋
－
(x>0)，
＋2x
. 2
(ⅰ)设k≤0，则h′(x)＝
＋
－2x
－
2
知，当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)
1
＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)>0，可得2h(x)>0；
1－x
1
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得2h(x)>0.
1－x从而当x>0，且x≠1时，f(x)－?(ⅱ)设0 ?lnx＋k?>0，即f(x)>lnx＋k. ?x－1x?x－1x? ? ? 1?2 时，(k－1)·(x＋1)＋2x>0，故h′(x)>0.而h(1)?1－k? 1?1?＝0，故当x∈?1，时，h(x)>0，可得?2h(x)<0，与题设矛盾． 1－x?1－k? 1 (ⅲ)设k≥1，此时h′(x)>0，而h(1)＝0，故当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，可得2 1－xh(x)<0，与题设矛盾． 综合得，k的取值范围为(－∞，0]． 6 7