贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）
1绪论
1.1研究背景
随机现象存在于自然界和人类生活中的每一个角落，因此概率论在现实中的应用非常之广泛，而在概率论中的最主要的一个分支就是正态分布（Normal distribution），正态分布不仅在金融、精算以及保险等新型领域中占有重要地位，而且对于医学、物理学、生物学等领域的影响也是不可忽略的.
正态分布又被称为高斯分布，正态分布在统计学科、数学领域、自然生物领域都有着极其关键作用的概率分布.我们假设连续性随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2).μ决定了正态分布的期望值，其标准差σ决定了分布的幅度.由于正态分布的曲线也称为钟形曲线.在日常的学习研究之中，标准正态分布，它是μ = 0,σ = 1的正态分布.
正态分布是我们生活中不可或缺的一部分，如果能够充分理解它，它能够带来的利益也是无法估量的.作为新时代的大学生，很好地掌握正态分布的原理并能够将其运用于社会生活中，是我们的一个任务，为此对正态分布进行系统的学习和研究.
1.2研究目的
正态分布是统计方法的理论中最为基础的部分，是不以人类的意志而转移的统计规律，具有统一的函数表达式.
正态分布在实际生活中，存在着很多服从正态分布的例子,.比如测量产品的误差、产品质量的测量，农业作物的产量等.
服从正态分布的随机变量应用非常之广.没有任何一种随机变量可以相比较.所以，我们需要对正态分布进行深入广泛的研究.为了能够更好地掌握正态分布，让其能够更好地被应用生活之中，为人类谋取更多的福利，对其在理论和应用方面进行了系统的研究以求进一步的了解正态分布的奥秘.
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贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计） 1.3研究现状
正态分布概念首先由数学家De Moivre发现引入并提出，然后直到1809年，德国数学家Gauss将其应用于自然科学的广泛研究，因此又被称作高斯分布.正态分布最早是通过进行误差分析而发现的.进入近代统计时代，拉普拉斯首次提出了概率论的古典定义，把概率论的理论作为基本理论，再次进行了中心极限定理的证明，进一步完善了观测误差论，在前人的基础上进行了一次伟大的改革.19世纪50年代凯特莱运用大量的概率论原理对自然和社会现象进行测量，然后统计出大数据，这些数据反映出来的规律可以体现事物的变化，甚至可以预测未来事件发生的可能性.随后凯特莱有对正态曲线进行了拓展，高尔顿对正态分布进行了创新.
19世纪起，以马尔可夫和切比雪夫为代表的数学家通过引入随机变量的盖帘，建立了随机变量的独立性和非独立性的标准，提出了收敛到正态分布的充要条件.到达20世纪，通过哥赛特，费歇尔等人的努力，小样本理论诞生了，正态分布的地位得到了进一步的巩固.20世纪后，统计学家在实验中获得的数据越来越精确，由统计分析得到的结论得到了普遍认可.
1.4研究意义
正态分布具有极其广泛的实际应用背景，在人们的各种生产生活以及科学实验当中，有大量的随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.当我们描述某一件事或者某一个要达到的目标时，大部分的个体所发挥出来的特性都能够很好地服从正态分布.这也就是说，对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.
除此之外，正态分布也可应用到解决现实生活问题，产品质量管理、人体生理的特征及学生的综合素质等多领域都可以用正态分布进行研究.
因此，正态分布作为一种最常见的连续型随机变量的分布，不仅在概率论和数理统计的理论研究中有重要地位，而且在实际应用上也有着重要研究价值.充分研究正态分布在理论和应用中的重要定位，可以让我们充分学习到正态分布的理论知识，站在前人的肩膀上获得最好的研究成果.有利于在今后的研究中少走弯路，为今后研究打好基石.
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2 正态分布相关知识介绍
2.1正态分布的概念
正态分布又被称作高斯（Gauss）分布或常态分布.正态分布曲线的两边低，中央是高峰，逐渐下降至两侧，左右呈现对称的，曲线不与横轴相交.
设连续型随机变量?的密度函数为:
??x??1?2?e??x???22?2 (???x???) (2.1)
(其中?、?是常数,且 ??0,?为所研究的正太总体平均值,?为标准差,x为随机抽
取得正态分布中的样本值).则称随机变量?服从参数为?、?的正态分布,记作正态分布密度函数的图形如下图所示，这条曲线应称作“正态分布曲线”. ?~N??,?2?，
图2-1 正态密度曲线分布图
2.2正态分布曲线特性
对上式（2.1）进行一定的数学计算处理： 对式（2.1）求导，可得：
??(x)??1?32?e?(x??)22?2?(x??) （2.2）
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令???x??0,则有x??,即当x??时, ?(x)有极大值?(x)max?
对式（2.2）求导有:
1?2?
????x??21?52?e??x???22?22??x?????2 (2.3)
??令????x??0,则有?x?????2 ,即曲线在:x????可以看到拐点，而且有两个.
表2-1 正态曲线的特性表
x (??,???) ??? ? 0 1(???,?) ? (?,???) ??? (???,??) ???x? ???x? ? ? ?? 凹 ? - ? 凸 0 - 1- - ? 凸 - 0 1- ? ? 凹 ??x? 曲线 ?2?e拐点 ?2??2?e极大值 拐点 对正态分布整体特性做了一定的介绍之后，下面对参数当?和?的意义进行阐释，当它们确定后，正态曲线就几乎能够得到了完全的确定.?和? 不同，?的大小决定曲线的“高”、“矮”、“胖”、“瘦”，如果?不变，改变?，则曲线在x轴上的位置不变，形状会变化，?愈小，曲线愈“高瘦”；?越大，曲线越“矮胖”，如图2-3所示； 如果?不变，改变?，那么曲线形状不变，只在x轴上平行移动如图2-2所示：
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图2-2 正态曲线的特性图
图2-3 正态曲线的密度函数图
我们从几何的角度对上图进行分析，在上图中，?是高斯曲线取得极大值的横坐标、?是曲线中拐点横坐标与极大值坐标?间的距离，也能够说?是凸、凹曲线的连接点在横坐标轴的位置；
从物理的角度对上图进行分析，在上图中，?是正态曲线与x轴之间所构成的平面图形重心的横坐标.在计量学科中，?是被测量的随机变量的真值，?是表征随机变量对象测量值分散特性的一个评价尺度因素.在数理统计学科中，?被称为数学期望也就是平均值，?是随机变量的标准偏差.当?的值越小，说明观测值落在?所在横坐标左右范围的概率越大，观测值较集中，测量精度相对较高；?的值越大，说明观测值落在?所在横坐标左右范围内的概率越小，观测值较分散，测量精度偏低.
综上所述，正态分布的参数?代表着随机变量样本观测值的集中的趋势,参数?反映了随机变量样本观测值的分散程度.
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