贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计） 2.3 标准正态分布
称??0,??1的正态分布为标准正态分布，将??0,??1代入(2.1)式可以得到：
??x??12?e?x22 ????x??? ? (2.4)
式(2.4)为标准正态分布的密度函数，服从标准正态分布的随机变量?~N?,?2
通过对概率论的学习告诉我们，标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为：
??F?x??P???x??P??????x?????t?dt????xx12???e?t22dt (2.5)
通常用??x?表示标准正态分布的分布函数，即：
??x??P???x??P??????x?????t?dt???x?2?1x??e?t22dt (2.6)
取不同的x的值，式(2.6)的几何意义是在区间???,x?内正态曲线与x轴之间所围曲边梯形的面积,如图所示,
图2-4 标准正态分布的分布函数图
这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理.
由于密度函数??x?可以在整个x轴上取值，密度函数性质得:
?????12?e?t22dt?1
即迎合了正态曲线的一个性质：线与x轴所围面积为l.
8
贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）
3 正态分布的应用
3.1 正态分布应用实例 3.1.1 正态分布在生产中的应用
正态分布实际应用很广，在很多产品生产及科学实验中，随机变量的概率分布特性都可以近似的用正态分布来描述.对于大量的个体的特性统计分析，可以尝试利用正态分布来估量.
例3.1 有一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为0.8年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.
解 设量规使用期为随机变量?,由题意知?~N5,0.82,本题求P???4?和P???6? 1) 根据公式有:
?4????4?5?P???4??P??????4?????????????1.25??0.1056,
????0.8???或由公式可得
?4????0????4?5??0?5?P???4??P?0???4????????????????????????0.8??0.8?,
????1.25?????6.25??0.1056?0?0.10562) 根据公式有
?6?5?P???6??1?P???6??1?????1???1.25??1?0.8944?0.1056.
?0.8?例3.2 某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径?=l0mm,标准差0.03)mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格?=0.015mm.规定直径在(10±品的概率.
9
贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）
解 设这批轴的直径为随机变量?,由题意知?~N?10,0.015?.??10.03和??9.97为不合格品.
1) P???9.9?7?P???不合格?P71?9.9??010.0?3?P1??????????0.015??? 03?1?0.?2?]??110?10.0?3?????2??1???1???2??[?1?????????2 ?0.015??2?2??22?20.97?7250.0455????10.03?10??9.97?10?2) P合格?P?9.97???10.03?????????
?0.015??0.015???
2 ???2?????2??2??2??1?2?0.97725?1?0.9545,
或 P?0.04?55合格?1?P不合格?1即
?d?????0.975. ?0.02?0.. 9
3.1.2正态分布在日常生活中的应用
在自然界以及人类自然生活中,很多的实践经验证实，正态分布这种随机变量的概率分布的应用是十分广泛的，十分常见.例如：人的身高、体重、生物的生理尺寸等外观评估指标.随机测量误差指标等，都能够看作是近似服从的正态分布. （1）已知某条件下的概率,求参数? 和?
例3.3 有一群男子,4％的身高在1.608m以下,有52％在1.608m到1.753m之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差.
解 由题意得:
??1..608?????P??1.608?????0.04?????, ?1.753????P???1.753???????0.04?0.52?0.56????? 10
贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）
?1.608????1.75??由概率值0.04和0.56反查正态分布表得: ?,
1.753????0.15??化为:
?1.608???1.75??0, ??1.753???0.15??0解得:
???0.076?m?, ?????1.742m?即这群男子平均身高为1.742m,标准差为0.076mm.
(2)已知 ?,? 和区问(a,b)内的变量数,求总变量数
例3.4 某天中午一餐厅所有顾客吃饭用的钱服从正态分布,平均数为8.74元,标准差为1.2元.这天中午有420人吃午饭用了8.5元或更多,问一共来了多少顾客？
?8.5?8.74?解 P???8.5??1?P???8.5??1?????1????0.2??1?0.4207?0.5793
1.2??故总顾客数为: ??420?0.5793?725(人).
3.1.3正态分布在销售分类中的应用
例3.5 某水果重量成正态分布,现进行分级,20％为小的,55％为中等,15％为大，10％为特大.所有水果平均重量为241.5g,标准差为60g,求中等水果的下限与上限的重量.
解 由题意知,中等水果下限x下以下的概率为0.20,上限为x上以下的概率为 (0.20+0.55)=0.75,于是有:
?x下????x下?241.5?P???x下???????0.75 ????????60????
11
贵州民族大学人文科技学院毕业论文（设计）
?x上????x上?241.5?P???x上???????0.75 ????????60????x下?241.5x?241.5??0.84 上?0.675
6060反查正态分布表得:
x下?241.5?60?0.84?191.1g x上?241.5?60?0.675?282g
即中等水果下限重量为191g,上限为282g.
3.1.4正态分布在工作学习中的应用
正态分布不仅是概率论与数理统计的一种基本研究工具，也可以将它应用到解决考试成绩与学生综合素质研究的现实生活问题当中.
例3.6 某公司对职工进行基本理论考试,决定给14％ 的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优?
解 设至少考x分方能得优,由题意:
?x?80?P???x??1?P???x??1?????0.14，
14???x?80?????1?0.14?0.86. ?14?反查正态分布表得:
x?80?1.08， 14故
x?80?17?1.08?95(分)
即考生至少得95分方能得优.
3.1.5 正态分布在仪器测量中的应用
正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布（或近似正态）分布指标以及可以
12