习题6.1
1.设X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的指数分布E???的样本，试写出样本的联合概率密度.
????x?6解：f?x1,x2,?,x6????ei?1?0?6x1,x2,?,x6?0
其他2.设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知，试写出样本的联合密度函数.
???6解：f?x1,x2,?,x6????00?x1,x2,?,x6???6
其他3．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为?的泊松分布，从产品中抽一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn，求样本的联合分布律.
?kie?i?1 ki?0,1,?，i?1,2,?,n, 解：P?X1?k1,X2?k2,?,Xn?kn??k1!k2!?kn!?n?n
4．设总体X~B(1,p),(X1,X2,?Xn)为总体的一个容量为n的简单随机样本，求样本的联合分布律.
解：P?X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn??p?i?1nxin?(1?p)?xii?1n xi?0,1 i?1,2,?,n
5. 设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料： 日售出台数k 2 3 4 5 6 天数fk 20 30 10 25 15 求样本容量n以及经验分布函数Fn(x).
6. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育.今从中抽取1600人的随机样本，求：
（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率；
（2）样本中受过高等教育的人的比率在19%和21%之间的概率.
1600解：（1）
?Xi?1i近似N(1600?10%,1600?10%?90%)
~160011600?176?160?P{X?11%}?P{X?176}?1?????0.0918 ??ii1600i?1?12?i?11600 （2）
?Y近似N(1600?20%,1600?20%?80%)
ii?1~11600P{19%?Yi?21%} ?1600i?1?P{304??Yi?336}i?11600?336?320??304?320?????????1616????=0.6826
习题6.2
1．设X1,X2,???,Xn是来自总体N(?,?2)的一个样本，其中?已知，?未知，指出
2
下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
nXi??21n1n1nXi?X222T1??(Xi??),T2??(),T3??(Xi?X)，T4??()
ni?1?nn?i?1i?1i?1解：T1,T3是统计量（不含未知参数），T2,T4不是统计量（含未知参数?） 2．设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知 （1）写出样本的联合密度函数；
（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？
2
T1?X1?X2???X6,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6?
6（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差.
???6解：（1）f?x1,x2,?,x6????00?x1,x2,?,x6??
其他2
（2）T1和T4是（不含未知参数），T2和T3不是（含未知参数?）
（3）样本均值x?0.8
样本方差s＝0.0433 样本标准差s?0.2082
3．从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取10名同学的成绩分别为：
100，85，70，65，90，95，63，50，77，86
（1）试写出总体，样本，样本值，样本容量； （2）求样本均值，样本方差及二阶原点矩.
解（1）总体：该班级所有同学的英语期末考试成绩X；
样本：（X1，X2，X3，…，X10）
样本值：(x1,x2,?,xn)=（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86） 样本容量：n=10
（2）x=78.1 s＝252.5 a2＝6326.9
22
习题6.3
1. 设(X1,X2,?,X7)是取自正态总体X~N(0,0.5)的样本，则P{ . 答案：0.025
因为??7272?Xi?12i?4}? 1?2i2?Xi?172i~?2(7)
71故P{?X?4}?P{0.52i?12??0（7）?16.013 .025?Xi2?i?142}?P{??16}?0.025 20.52. 设总体X～N（0，1），从总体中取一个容量为6的样本(X1,X2,?,X6)，设
2
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，试确定常数C，使随机变量CY服从?2分布.
解：因为各Xi相互独立，所以X1?X2?X3~N(0,3),X4?X5?X6~N(0,3)
X1?X2?X33~N(0,1),X4?X5?X63~N(0,1),
Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2 ?3[(X1?X2?X33)2?(X4?X5?X63)2]
X?X2?X32X?X5?X6212Y?(1 )?(4)~?（2）333故C?1 31，则（ ） X2
（B）Y~x(n?1)
23. 设随机变量X~t(n)(n?1),Y?（A）Y~x(b) （C）Y~F(n,1) 答案：C 因为X?2
（D）Y~F(1,n)
UV/n~t(n),其中U~N(0,1),V~?2(n),且U,V相互独立
又由U~N(0,1),U2~?2(1)且U2,V相互独立
Y?1V/n?~F(n,1) 22XU/1习题6.4
1. 从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
62解：X~N(3.4,)
n?n??5.4?3.4??1.4?3.4???1?0.95 P{1.4?X?5.4}?????????????2?????6/n??6/n??3??n???0.975???1.96?，n?1.96 ???3?3??故样本容量n至少应取35
2. 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2),总体Y服从正态分布
N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?j?1?i?1?? .
E??n1?n2?2??????2答案：?
22n2?n1???n1??n22?2???(Xi?X)??(Yj?Y)????(Xi?X)???(Yj?Y)??2???i?1i?1j?1???j?1???E?EE??? 22??n?n?2???n1?n2?2???12??????????????????????2n1?n2?2[(n1?1)?(n2?1)]??2
??n1??n22?2????(Xi?X)????(Yj?Y)???i?12?j?1?~?2(n?1)??注意：~?(n?1),?? 1222??????????????????????n1??n22?2????(Xi?X)????(Yj?Y)???i?1j?1???n?1??故?E?n?1,E? 1222????????????????????3. 设X1,X2,?，Xn(n?2)为来自总体N（0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S为样本方差，则
（A）nX~N（0， 1）
（B）nS2~2
?2(n)
~F(1,n?1)
(n?1)X~t(n?1) （C）
S答案：D 因为
（D）
(n?1)X12?Xi?2n2i(n?1)X12?Xi?2n?X12/12i?Xi?2n2i?2n~F(1,n?1)
2i/(n?1)其中X21~?(1),?Xi2~?2(n?1)
复习题六（A）
一、填空题
1. 在数理统计中， 是指被研究对象的某项数量指标值的全体. 答案：总体
2. 若n个随机变量X1,X2,?,Xn满足（1） ；（2） ， 就称其为来自总体F(x)的一个样本. 答案：相互独立，与总体同分布
3. 设X1,X2,?,X10为来自正态总体N(100,100)的样本，则其样本均值X服从 ，样本方差乘以 后服从?(9)分布.
答案：N(100,10)，0.09
24. 设X1,X2,?,Xm为来自总体
?(10)的一组样本，则统计量Y??Xi服从
2i?1m